(가) 집합 X의 각 원소에 집합 Y의 원소가 오직 하나씩만 대응할 때, 이 대응을 X에서 Y로의 함수라고 한다. x의 값에 따라 y의 값이 결정되는 규칙을 일반적으로 y=F(x)로 나타낸다. 또한, 함수 F(x)에 대하여 방정식 y=F(x)에서 x를 y로 표현한 결과가 x=G(y)로 꼭 한 가지 얻어지면 G를 함수 F의 역함수라 하고, G=F-¹로 나타낸다. 이때, 함수 y=F(x)는 집합 X에서 집합 Y로의 일대일 대응이어야 한다. 왜냐하면, x₁≠x₂이면 항상 F(x₁)≠F(x₂)가 되고, 이 경우에만 각 y값에 관하여 x의 값이 유일하게 결정될 것이기 때문이다. x가 평면상 임의의 삼각형이고 y=F(x)는 삼각형의 둘레의 길이를 나타내는 함수를 생각해 보자. 삼각형의 집합 X에서 양의 실수 전체의 집합 Y로의 이 함수는 일대일이 아님이 명백하다. 왜냐하면 같은 길이의 둘레를 가지는 삼각형은 무수히 많기 때문이다. 따라서 이 경우에는 관계식 y=F(x)로부터 유일한 역함수를 얻을 수 없다.

(나) 둘 또는 그 이상의 주어진 함수로부터 새로운 함수를 만드는 중요한 방법이 함수의 합성이다. 예를 들면 함수

는 간단한 두 함수 g(x)=1+x²과

를 합성한 것이고, 이것을 f(x)=h(g(x))와 같이 쓴다.

마찬가지로, 함수

x≥0)은 간단한 두 함수

를 합성한 것이고, 이것을 f(x)=h(g(x))와 같이 쓴다.

위의 두 가지 예 중에서 첫 번째 예는 합성함수가 일대일 대응이 될 수 없으며 두 번째 예는 합성함수가 일대일 대응이 된다.

(다) 학예회 준비를 하던 혜진이는 친구 세 명과 함께 각자 책임지고 할 일을 ① 안내장 만들기 ② 전시장 안내 ③ 작품 전시 ④ 뒷정리로 하였다. 그런데 누가 어떤 일을 할 것인가를 정하는 것이 문제였다. 이때, 원영이의 제안으로 그림과 같은 게임 놀이를 통해서 각자 할 일을 정하기로 하였다.

[게임방법]

·출발점은 두 사람이 동시에 택할 수 없다.

·선을 따라 아래로 내려가다가 가로금을 만나면 반드시 그 가로금을 따라간다.

·가로금을 따라가다가 세로금을 만나면 반드시 그 세로금을 따라서 아래로 내려가야 한다.

[생각해 보기]

다음 그림의 사다리타기를 이용하여 각자의 역할을 정해보고, 제시문 (나)를 자료로 하여 두 개의 사다리를 세로로 붙이면 합성함수가 됨을 설명하시오.

[문제 1] 사다리타기는 두 세로선을 연결하는 가로선을 통해 두 세로선이 바로 옆의 것과 자리바꿈을 하는데, 수학적으로는 ‘호환’ 또는 ‘교환’이라고 한다. 각 가로선을 하나의 함수로 볼 수 있으며 두 개의 사다리를 세로로 붙이면 합성함수가 되므로 여러 개의 가로선으로 연결되어 있는 경우 여러 함수의 합성으로 정의할 수 있다. 아래의 그림에서 각 가로선을 하나씩 포함한 대응관계를 함수라고 할 때 세 함수의 대응관계를 규정해 보고, 이를 이용하여 전체 사다리타기를 이들 함수로 정의해 보시오.

[문제 2] 제시문 (가), (나)를 근거로 하여 사다리타기가 역함수가 존재하는 이유를 증명하시오.

[문제 3] 어떤 일대일 대응을 원하더라도 그에 맞는 사다리를 그릴 수 있고 그리는 방법은 여러 가지가 있을 수 있다. 왼쪽 그림과 같은 대응이 되도록 할 때, 오른쪽 그림의 가로선을 어떻게 그릴 수 있는지 제안하고, 그 이유를 논리적으로 설명하시오.

송문섭 선생님