■‘숫자-기호에 의미 부여’ 언어능력, 수리력 좌우

수학은 숫자와 기호로만 이루어진 것이라고 흔히 생각되어질 수 있다. 수학(數學)이라는 한자를 보더라도 숫자를 나타내는 ‘수(數)’를 사용하기 때문에 더 그렇게 생각하기 쉬울 것이다.

그러나 수학의 기본 재료가 숫자와 기호일지라도 그것들을 의미가 있도록 다듬고 연결해 나아가 하나의 수리논술을 완성해 나가는 것은 언어가 하는 일이다. 그러한 중간과정이 없는 숫자와 기호는 아무런 의미 없는 기본 재료일 뿐인 것이다.

예를 들어보자. x=2y+z와 같은 수식이 있다고 해보자. 이 수식만 가지고는 어떤 의미를 갖고 있는지 알 수 없다. 그러나 “우리 아버지의 나이는 내 나이의 두 배에 내 동생의 나이를 더한 것과 같다”라고 하면, 그 수식은 의미를 가진다. 따라서 의미 없는 무미건조한 수식을 의미를 가지도록 하고, 어떠한 논리적인 전개가 가능하도록 하는 것이 바로 언어이다. 거꾸로 말하면, 언어를 얼마나 잘 이해하고 분석할 수 있느냐에 따라서 수리논술을 잘할 수 있느냐가 결정된다고도 할 수 있다는 것이다.

특히 이번 호에서는 언어 중에서 우리말이 아닌 영어로 된 문제들을 다루어 보기로 하겠다. 우리말보다는 영어로 주어진 문제가 여러모로 학생들에게 까다롭게 느껴질 수 있지만, 영어로 된 문제를 잘 이해하고 수리적으로 잘 분석하는 노력을 한다면 그 언어가 영어라도 어렵지는 않을 것이다.

앞서 이야기한 것과 같이 언어가 수식을 의미 있게 하고, 논리적인 전개를 가능하게 한다. 그러므로 언어의 올바른 이해와 분석이 수리논리적인 사고를 더 분명하게 한다. 따라서 수리력과 더불어 언어능력까지 가늠해 볼 수 있는 영어로 구성된 수학원리 응용 수리논술 문제는 충분히 연습해 볼 가치가 있을 것이다.

이에, 이번 호에서는 영어를 사용하는 수학원리 응용 수리논술 문제를 살펴보고, 문제를 정확히 이해하고 분석하여 이를 해결하는 방법을 알아보기로 한다.

[문제 1]

The price of a diamond is directly proportional to the square of its weight. A diamond is worth 1,000,000won. If it is cut into two diamonds whose ratio in weight is 3:2, what would be the difference in price between the original diamond and the two cut diamonds?

(proportional: 비례, square: 제곱, ratio: 비)

[풀이 해설 및 정답]

두 개로 나누어진 다이아몬드의 무게의 비가 3:2 이므로, 각각의 무게는 원래 다이아몬드의 3/5, 2/5라고 할 수 있다.

원래 다이아몬드의 가격이 100만 원이고, 한 다이아몬드의 가격은 무게의 제곱에 비례한다고 하였으므로, 각각의 가격은 100×(3/5)²=36만 원, 100×(2/5)²=16만 원이다. 따라서 잘려진 두 개의 다이아몬드 가격의 합은 36+16=52만 원이고, 가격의 차는 48만 원이 된다.

[문제 2]

In his last dying words, a mathematician spoke about a secret number.

“First.” he whispered, “the secret number has three digits, and each digit is a natural number. And second, the sum of the three digits is 9.”

Then he coughed and continued, “The sum of the square of each digit is between 30 and 40. Finally, the sum of the cube of each digit equals the secret number.”

Q: What is the secret number ? (digit: 자리, cube: 세제곱)

[풀이 해설 및 정답]

수학자가 한 말들을 종합하여 정리하면 다음과 같다.

① 3자리 수이다. 따라서 우리가 구하는 숫자는 a×10²+b×10+C이다.

② 각 자리 수의 합은 9이므로, a+b+c=9이다.

③ 각 자리수의 제곱의 합은 30과 40 사이이므로, 30 < a²+b²+c² < 40 이다.

④ 각 자리수의 세제곱의 합은 다시 그 수이므로, a³+b³+c³=a×10²+b×10+c임을 알 수 있다.

a≥7 또는 b≥7, c≥7이면 ③에서 모순이 되므로, a<7 이고, b<7, c<7임을 알 수 있다. 그러나 a, b, c 중 한 숫자가 6일 때에도 ②를 만족시키기 위해서는 나머지 두 숫자가 1과 2이어야 하므로, ③에 의해서 모순이 발생한다. 따라서 a, b, c 세 수 모두는 5이하이어야 한다. 그중에서 5, 3, 1일 때가 ①, ②, ③을 만족하고, a=1, b=5, c=3이면 ④도 만족한다. 그러므로 비밀 수는 153이다.

[문제 3]

After the frog turned into a handsome prince and the princess fell in love with him, the king said, “Not so fast! If my daughter is going to marry a frog, I want to make sure he can do more than catch flies.” And he insisted that the prince take an intelligence test. “One of these three boxes is filled with precious jewels. The other two contain pebbles from the pond you just left. As you see, the boxes all have inscriptions. Box No.1 says, ‘The jewelry is in this box.’ Box No.2 says, ‘The jewelry is not in this box.’ And Box No.3 says, ‘The jewelry is not in the first box.’” “I see,” said the prince. The king continued, “If I told you how many of these inscriptions are true, you would be able to figure out where the jewelry is. Where is it?”

[풀이 해설 및 정답]

모든 경우를 모든 상자가 참인 경우, 하나만 거짓인 경우, 두 개만 거짓인 경우, 모두 거짓인 경우 등 네 가지로 나눌 수 있다.

(1) 모든 상자가 참인 경우: 상자 1과 상자 3이 서로 모순이므로, 이 경우는 아님을 알 수 있다.

(2) 하나만 거짓인 경우: 상자 1이 거짓이라면, 상자 2와 상자 3은 사실이므로 보석은 상자 3에 있어야 한다. 그리고 상자 2가 거짓이라면, 상자 1과 상자 3이 참이므로 서로 모순이 일어난다. 따라서 상자 2는 거짓일 수 없다. 마지막으로 상자 3이 거짓이라면, 보석은 상자 1에 있고, 상자 1과 상자 2가 참이므로 보석은 1에 있을 수 있다. 그러므로 하나만 거짓인 경우 상자 1에 있을 수도 있고, 상자 3에도 있을 수 있기 때문에, 이 경우도 아님을 알 수 있다.

(3) 두 개만 거짓인 경우: 상자 1과 상자 3은 서로 모순이 되므로 둘 다 거짓일 경우는 없다. 상자 1 또는 3 중 하나가 거짓이고, 상자 2가 반드시 거짓이라는 것을 알 수 있다. 따라서 이 경우는 상자 1과 상자 2가 거짓인 경우와 상자 2와 상자 3이 거짓인 경우, 두 경우로 다시 나누어진다.

상자 2와 상자 3이 거짓이라면, 상자 1과 상자 2에 보석이 있기 때문에 우리가 원하는 경우가 아니고, 상자 1과 상자 2가 거짓이라면 상자 2에 보석이 있음을 알 수 있다.

(4) 모든 상자가 거짓인 경우: 모든 상자가 참인 경우와 마찬가지로, 상자 1과 상자 3이 서로 모순이므로 우리가 원하는 경우가 아님을 알 수 있다.

그러므로 우리가 원하는 경우는 상자 두 개만 거짓인 경우이며, 특히 상자 1과 상자 2가 거짓인 경우이다. 따라서 보석은 상자 2에 있다.

[문제 4]

A new school is being opened. The school has exactly 100 lockers and 100 students. On the first day of school, the students meet outside the building and agree on the following plan: the first student will enter the school and will open all of the lockers. The second student will enter and close every locker with an even number. The third student will then “reverse” every third locker; that is, if the locker is closed, he will open it; if it is open, he will close it. The fourth student will then “reverse” every fourth locker, and so on until all 100 students in turn have entered the building and “reversed” the proper lockers. Which lockers will finally remain open?

[풀이 해설 및 정답]

첫 번째 학생에 의해서 모든 라커문은 열리고, 두 번째 학생에 의해서 모든 짝수 번호의 라커문은 닫힌다. 그리고 세 번째 학생에 의해서 3의 배수 번호의 라커문은 열려진 것은 닫히고 닫힌 것은 열린다. 이러한 방식으로, n 번째 학생에 의해서 n의 배수 번호의 라커문은 열려진 것은 닫히고 닫힌 것은 열린다. 따라서 원래 라커문이 모두 닫혀 있었으므로 최종적으로 열려 있는 라커문의 번호는 약수의 개수가 홀수 개인 것들이 된다.

열려 있는 라커문의 번호가 m이라고 하면, 그리고를 m의 소인수분해라고 하면 m의 약수의 개수가 홀수이어야 하므로,는 모두 짝수여야 한다. 따라서 m은 완전제곱수가 된다.

그러므로 열려 있는 라커문은 모두 완전제곱수의 번호를 가진다. 100개의 라커문까지의 완전제곱수는 10개이므로 열려져 있는 상태인 문은 10개이다.

심소연 정보학원 중등부 수학과 팀장