[김재호의 과학 에세이]에너지 효율의 결정체 ‘비눗방울’

일러스트레이션 김충민 기자 kcm0514@donga.com

김재호 과학평론가

서울 종로구 인사동에 가면 비누 거품을 예술로 승격시킨 장인이 있다. 거리의 행인들은 장인의 세심한 손길과 시시각각 변하는 비누 거품에 감탄한다. 그런데 비누 거품은 언제나 구나 원기둥 모양으로 나타난다. 그 이유는 비누 거품으로 채울 수 있는 공기의 양이 한정돼 있기 때문이다. 비누 거품은 공기를 둘러싸기 위해 에너지, 즉 비누막의 표면 장력을 최소화하고 구의 면적을 최대화한다. 이것은 수학의 등주(等周) 문제의 확장판이다.

등주 문제는 한 변이 주어졌을 때, 이 변으로 만들 수 있는 최대 면적은 바로 원이라는 걸 알려준다. 예를 들어 한 변의 길이가 10cm인 끈으로 만들 수 있는 가장 큰 면적은 반지름이 5/π인 원이다. 길이를 최소화하면서 면적은 최대로 만드는 것이다. 언뜻 당연해 보이는 등주 문제는 19세기가 돼서야 수학적으로 증명됐다.

지난달 발표된 ‘2018 필즈상’ 수상자 중 한 명도 이 등주 문제에 관심을 기울였다. 주인공은 바로 ‘최적 운송 이론’을 여러 분야에 적용한 스위스 취리히국립공대의 알레시오 피갈리 교수(34)다. 그는 1년 만에 박사학위를 취득했고, 24세 때 교수를 업으로 삼기 시작한 영재다. 피갈리 교수는 지금까지 150편의 논문을 발표했다.

국제수학연맹(IMU)에 따르면 최적 운송 이론의 핵심은 다음과 같다. 왼쪽 선반에 있는 n권의 책을 오른쪽으로 옮기려면 n번을 옮기는 비용이 든다. n권의 책을 옮기는 방법은 무수히 많겠지만 n번을 옮겨야 한다는 방식에는 변함이 없다.

18세기 프랑스 수학자 가스파르 몽주(1746∼1818)는 건축용 자재들을 어떻게 최적화해 공사 현장에 옮길지 고민했다. 그는 문제를 기하학적 방법으로 추상화해, 자재들이 이동하는 거리를 최소화하면 된다는 ‘최적 운송 이론’을 착안한다.

이후 150년간 엄두를 못 냈던 이 문제는 1940년대에 이르러 러시아의 수학자이자 경제학자인 레오니트 칸토로비치(1912∼1986)에 의해 좀 더 확장된다. 각각 다른 커피숍에 빵을 제공하는 빵집들의 집합이 있다고 하자. 이 경우 빵을 운송하는 총 비용을 최소화해 각 빵집들이 커피숍에 따뜻한 빵을 배달해야 한다. 책 옮기는 일이 왼쪽에서 오른쪽이라는 선형적인 일이라면 빵집과 커피숍의 연결은 비선형적(혹은 비결정적)이다. 하나의 빵집이 여러 개의 커피숍에 빵을 제공할 수 있기 때문이다. 그는 측정 이론과 함수 해석을 통해 운송비용을 최소화하면서 빵집들과 커피숍들을 연결시켰다.

최적 운송 이론은 인간사뿐만 아니라 자연 현상, 물방울이나 비누 거품이 왜 언제나 구의 모양을 띠고 있는지 설명해준다. 자연 현상에서 최적 운송 이론에 따르면 물질들은 운동에너지를 최소화하고자 한다. 고정된 부피를 갖는 수정(水晶) 역시 비슷하다. 수정은 원자의 격자 구조에 의해 모양이 변함에도, 비누 거품과 비슷하게 표면의 에너지를 최소화해 형태를 만든다. 여기까지는 이론적으로 100년 전에도 알고 있었다. 그런데 열에너지가 밖에서 부여되면 비누 거품과 수정은 변형된다. 그 이유는 뭘까?

밖에서 에너지를 E만큼 적용하면 이미 표면 에너지를 최소화해 모양을 갖추고 있던 수정은 놀랍게도 √E만큼 변했다. 즉, 수정 안 원자들이 (최적) 운송돼 모양이 달라지는 것이다. 물론 수정에 부여된 열에너지가 안정적으로 유지되고 모양 변화 역시 안정적으로 일어난다는, 최적화의 해법을 이론적으로 가정한 결과다. 원자들의 운송비용(책을 n번 옮기듯이)은 수정 안 점(원자)들의 거리를 제곱한 만큼이다. 무수히 많이 이동해야 한다는 뜻이다. 그런데 복잡한 계산 결과 놀랍게도, 각 점(원자)들은 평균적으로 √E만큼 이동하는 것으로 밝혀졌다.

최적 운송 이론이 정말 존재하는지, 인간이 이해할 수 있는지가 지금껏 관건이었다. 최적 운송 이론은 물류의 도시 계획, 반사판 안테나 조립의 공학 설계, 유체 역학, 이미지 인식과 영상 정보 처리, 나뭇잎 형성의 생물학, 구름 형성의 대기 예측과 조류의 해양 과학 등에 응용된다. 허나 앞으로 고려해야 할 변수 역시 너무나 많다.

튀니지의 도시 카르타고엔 그리스 로마 신화 ‘디도의 전설’이 있다. 디도는 왕권을 차지하려는 오빠 때문에 남편이 죽자 튀니지로 도망갔다. 거기서 디도는 지역의 왕한테 쇠가죽 하나로 두를 수 있는 땅을 주겠다는 약속을 받아낸다. 그러자 디도는 쇠가죽을 얇은 조각들로 잘라 이었다. 마침내 디도는 해안가를 따라 쇠가죽 조각들로 반원을 그려 가장 큰 땅을 얻었다. 바로 등주 문제이자 최적 운송 이론 적용의 시작이었다.

　

김재호 과학평론가