[理知논술/중학 교과원리]수학-과학

입력 2006년 3월 28일 03시 00분

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▼수학 - 다양한 진법▼

중학교 1학년 과정에서 배우게 되는 십진법과 이진법이라는 단원은 실제로 생활 속에서 매우 중요한 비중을 차지하는 단원이다.

1, 10, 100, 1000 등 10단위로 수를 표시하는 방법을 ‘십진법’이라고 한다.

10진법은 10배씩 커질 때마다 한 자리씩 올려서 표기하는 방법을 말한다. 수가 맨 처음 생겨난 원시시대부터 가장 편리하게 수를 세었던 도구가 바로 손가락이었기 때문에, 손가락이 10개라는 사실에서 이 십진법이 가장 대표적인 진법으로 자리를 잡게 되었다.

그렇다면 세상에는 십진법만 존재하는 것일까? 그렇지 않다.

수학의 역사를 살펴보면 시대나 지역에 따라 다양한 진법이 사용되었다는 것을 알 수 있다. 이번 호에서는 수를 세는 다양한 진법의 유래와 활용 부분을 알아보도록 하자.

이진법의 숨겨진 의미들

십진법의 원리와 마찬가지로 이진법은 1, 2, 22, 23… 등 2배씩 커질 때마다 한 자리씩 올려서 표기를 하는 방법을 말한다. 이진법은 오로지 0과 1만을 사용하여 수를 나타낸다. 단 두 개의 수로 표현할 수 있는 범위가 제한적이지 않을까 하는 생각이 들겠지만, 그렇지 않다. 엄청나게 많은 정보와 자료를 저장하고 있는 컴퓨터가 바로 이 이진법의 수를 사용하고 있다는 사실을 알고 있는가?

다음 예시를 보자. 십진법으로 나타낸 수 29를 이진법으로 나타내 보면 29=1×16+1×8+1×4+1×2+1×1=1×24+1×23+1×22+0×2+1×1=11101(2)이다.

숫자가 더 길게 표현됨에도 불구하고 속도가 생명인 컴퓨터가 이진법을 사용하는 이유는 무엇일까?

이진법의 원리를 좀 더 알아보자. 0과 1이라는 두 개의 숫자는 yes와 no, 켜짐과 꺼짐, 흑과 백, 양과 음 등 두 가지로 나누어 표현하는 데 유용하다. 특히 on, off로 나누어지는 전자, 전기 신호로 나타내기에는 가장 안성맞춤인 것이다.

전기가 흐르는 상태를 1로, 전기가 끊어진 상태를 0으로 두어 이진법으로 표현된 정보를 저장하거나 표현하면 우리가 직접 할 수 있는 계산 능력보다 훨씬 빠르기 때문에 컴퓨터가 처리하는 과정들이 이진법으로 구성되어 있는 것이다. 가장 쉬운 예로 학교에서 사용하는 OMR 카드를 보면 마킹을 하느냐 안 하느냐 하는 방식으로 컴퓨터는 알아서 점수를 척척 계산해 준다.

다음 교과서와 관련된 문제를 보자.

―불이 켜진 전구는 1, 꺼진 전구는 0으로 나타낼 때, 5개의 전구를 일렬로 나열하여 나타낼 수 있는 자연수의 개수는 몇 개인가? (수학 7-가)

이 전구들로 나타낼 수 있는 경우는 모두 꺼져 있는 경우 00000부터 모두 켜져 있는 11111로 생각할 수 있다. 이것을 이진법의 수로 옮겨 보면 0(2)에서 11111(2)까지의 숫자만큼 나타낼 수가 있으므로 이것을 십진법으로 고친 0부터 11111(2)=1×16+1×8+1×4+1×2+1×1=31까지 나타낼 수 있는 수는 32개가 된다. 하지만 문제에서 자연수의 개수를 물어봤으므로 0을 제외한 32-1=31개가 답이다.

다양한 진법들의 유래와 활용

오진법: 오진법은 손가락의 개수에서 출발한 대표적인 진법으로, 간단한 셈을 할 때 손가락을 꼽으면서 계산한 것과 같은 이치다. 오진법은 득표수를 표기하는 데서 가장 많이 쓰이는데, 학급위원을 선출할 때 표기방법으로 바를 정(正)자를 쓰거나 빗금을 그어서 5표를 획득할 때마다 한 단위씩 올라간다.

십이진법: 십이진법은 나이나 세월 등을 셈하는 데 많이 쓴다. 자, 축, 인, 묘… 로 시작하는 십이지가 대표적이고, 연필 12개는 1타스, 12인치는 1피트 등이 사용되고 있다.

육십진법: 고대 바빌로니아에서 처음 사용되었다. 관측에 의해서 지구의 공전주기가 360일 정도 된다는 사실을 알아내고 태양의 모습인 원을 360으로 생각하여 6등분한 60을 단위로 택하였다고 한다. 이러한 유래에서 각의 크기를 나타내는 단위, 1분을 60초로 나누는 것 등 생활에서 육십진법을 발견할 수 있다.

강현정 엠베스트 교육㈜ 수학강사

◇풀어서 보내요

바코드에서 ■는 1을 나타내고 □은 0을 나타낸다고 하자. 다음 바코드를 보고 상품명과 제조월일을 구하라(풀이식과 답을 작성하시오).

7 : 콜라 8 : 자일리톨껌 9 : 초콜릿 10 : 돼지바

11 : 바나나우유

▼과학 - 금속의 불꽃반응▼

중학교 3학년 과정에서는 여러 가지 원소에 대해 배운다. 고교 과정에서도 계속 이어지는 화학의 기본이 되는 부분으로, 중요한 단원이다.

이번 호에서는 금속원소를 구별하는 한 방법으로 금속의 불꽃반응에 대해 알아보자.

국물이 넘칠 때 변하는 불꽃의 색상

보글보글 끓던 라면이 아차 하는 순간, 국물이 넘쳐 흐르는 경우가 있다. 이때, 무심코 지나치지 말고, 가만히 살펴보면, 파랗던 가스 불꽃이 주황색으로 변하는 것을 발견할 수 있다. 가스 불꽃의 색상은 왜 변하는 것일까?

그것은 바로 라면 수프에 들어 있던 소금 즉, 염화나트륨 때문이다. 염화나트륨의 나트륨 성분이 불꽃 반응을 일으켜 불꽃을 주황색으로 변화시키는 것이다.

염화나트륨과 염화구리, 염화리튬, 염화칼륨을 각각 소량씩 놓고 메탄올을 적신 후 불을 붙이면 노란색, 초록색, 빨간색, 보라색 등의 불꽃을 볼 수 있다.

위 물질들은 모두 염화, 즉 염소를 포함하고 있는 화합물이다. 불꽃반응 색상이 각기 다른 것으로 보아 비금속인 염소의 불꽃반응이 아니라는 것을 알 수 있다. 이것은 각각의 화합물 속에 포함되어 있는 서로 다른 금속원소인 나트륨, 구리, 리튬과 칼륨의 불꽃반응인 것이다.

금속원소의 불꽃반응을 정리하면 다음과 같다.

■ 나트륨: 노란색(주황색에 가깝기는 하지만 노란색으로 정의)

■ 구리: 청록색

■ 리튬: 빨간색

■ 칼륨: 보라색

생활 속 금속원소들

실생활에서도 위의 금속원소는 쉽게 찾아볼 수 있다.

터널 속에서 볼 수 있는 노란색 불빛은 나트륨 등이다. 전선 속에도 구리가 들어 있고, 우리가 사용하는 휴대전화 배터리가 바로 리튬 이온전지다. 또한 칼륨은 이온 상태로 바나나에 풍부하게 들어 있다.

최근 한강이나 놀이동산 등에서 선보이는 화려한 불꽃놀이 역시 서로 다른 금속원소들이 불과 반응을 일으켜 오색찬란한 불꽃을 터뜨리는 것이다.

부엌에서 하는 메탄의 연소 실험

집에서 도시가스로 요리를 할 때 사실 우리는 메탄의 연소실험을 하게 된다. 도시가스의 주성분은 메탄이다. 가스를 태우는 것이 바로 메탄의 연소인 것이다.

메탄은 탄소와 수소로 이루어져 있는데, 메탄의 구성원소 중 탄소에 산소가 반응하면 이산화탄소가 되고, 수소와 산소가 반응하면 물이 생겨서 수증기 상태로 증발한다. 즉, 메탄과 산소가 만나면 이산화탄소와 물이 발생하는 것이다.