[理知논술/중학 교과원리]수학-과학

입력 2006년 4월 25일 03시 03분

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■ 수학 - ⑤정수

중학교 1학년부터 다뤄지는 정수는 단지 사칙계산을 하기 위해 사용되는 수라고 가볍게 생각할 수 있다. 하지만 정수는 수학뿐만 아니라 다른 학문에도 응용이 돼 왔고 최근 정보화 시대의 비밀정보 보호를 위한 암호의 구성 원리에도 깊은 관계를 가지고 있다.

이번 시간에는 단지 계산으로만 끝내는 정수가 아닌 정수가 무엇인지, 정수를 공부하는 목적이 무엇인지, 어떤 부분에서 활용이 되고 있는지 알아보도록 하자.

음수란 무엇일까?

양의 정수(자연수)와 0, 음의 정수를 통틀어서 ‘정수’라고 한다. 수학의 역사에서 음수가 탄생한 것은 비교적 최근의 일이다. 오래전 회계 장부의 기록을 보면 검은색과 빨간색으로 기재한 숫자를 쉽게 발견할 수 있는데 이때 검은색은 이익을, 빨간색은 손해를 나타냈던 것으로 +와 ― 대신 색깔을 구분해서 사용했다. 음수의 개념이 없었기 때문이다.

현대는 글씨 색깔 대신 +와 ―를 사용하여 구분하고 있다.

음수로 표기할 수 있는 부분은 생활 속에 많다.

몇 가지만 예를 들면, ‘지면을 기준으로 지상은 +, 지하는 ―’, ‘이익은 +, 손해는 ―’, ‘0도를 기준으로 영상은 +, 영하는 ―’.

여기서 주의해야 할 부분은 ‘0’은 ‘아무것도 없다’를 의미하는 것이 아니라 +와 ―를 구분하는 ‘기준’을 나타낸다는 점이다.

암호와 정수

이 정수를 사용해 암호를 만들 수 있다. 암호는 비밀정보를 교환하기 위해 생겨났고, 처음에는 군사 외교 목적으로 사용됐으나 최근에는 인터넷뱅킹, 전자상거래, e메일, 휴대전화에 이르기까지 그 응용 범위가 확대되고 있다. 따라서 이런 암호를 효율적으로 분석하기 위한 기술을 필요로 하게 되면서 암호 역시 수학의 한 분야로 자리 잡았다.

물론 수를 이용한 대부분의 암호에서 쓰이는 계산 방법은 우리가 알고 있는 보통의 계산 방법과 다르고 어떤 일정한 규칙을 만들어서 다른 방법으로 변형을 시킨다. 물론 이 일정한 규칙에 수학 공식을 응용하는 것.

예를 들어 가장 쉬운 형태로 한글의 자음 모음 대신 28개의 숫자를 사용해 보기로 하자.

ㄱ	ㄴ	ㄷ	ㄹ	ㅁ	ㅂ	ㅅ	ㅇ	ㅈ	ㅊ	ㅋ	ㅌ	ㅍ	ㅎ
0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
ㅏ	ㅑ	ㅓ	ㅕ	ㅗ	ㅛ	ㅜ	ㅠ	ㅡ	ㅣ	ㅐ	ㅒ	ㅔ	ㅖ
14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27

이제 아무도 모르게 친구에게 ‘매점에서 만나’라는 메시지를 전달하고자 할 때, 즉 『ㅁ, ㅐ, ㅈ, ㅓ, ㅁ, ㅇ, ㅔ, ㅅ, ㅓ, ㅁ, ㅏ, ㄴ, ㄴ, ㅏ』=『4, 24, 8, 16, 4, 7, 26, 6, 16, 4, 14, 1, 1, 14』를 아무도 모르게 전달하고 싶은데, 이대로 보내면 누구든지 해석을 할 수 있게 되니까 적당한 규칙으로 변형을 시켜 보내자.

예를 들어 각 숫자에 1을 뺀다.

그럼 『3, 23, 7, 15, 3, 6, 25, 5, 15, 3, 13, 0, 0, 13』이라는 암호문이 탄생하게 된다.

암호를 전혀 모르는 사람이 이 숫자를 읽었다면 그냥 숫자의 나열이라고 생각했을 테고, 암호를 알았다 하더라도 ‘1을 뺀다’는 규칙을 모른다면 역시 의미 전달이 되지 않을 것이다. 최근에는 이 정수론이 발달되면서 계속 획기적인 보안시스템이 만들어지고 있다.

강현정 엠베스트 교육㈜ 수학강사

◎ 풀어서 보내요

친구 다은이에게 좋아하는 마음을 쪽지로 보내려고 한다.

‘다은아 사랑해’라는 글을 아무도 모르게 할 수 있도록 자기만의 규칙을 만들어서 보내 보자(규칙과 암호문을 서술할 것).

ㄱ	ㄴ	ㄷ	ㄹ	ㅁ	ㅂ	ㅅ	ㅇ	ㅈ	ㅊ	ㅋ	ㅌ	ㅍ	ㅎ
0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
ㅏ	ㅑ	ㅓ	ㅕ	ㅗ	ㅛ	ㅜ	ㅠ	ㅡ	ㅣ	ㅐ	ㅒ	ㅔ	ㅖ
14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27

○ 글 싣는 순서

⑥수학의 힘 - 문자 ⑦생활 속의 방정식 ⑧생활 속의 부등식 ⑨생활 속의 함수 1 ⑩생활 속의 함수 2

⑪생활 속의 통계 ⑫생활 속의 기하

■ 과학 - ⑤빛의 반사와 굴절

빛의 반사 및 굴절의 원리는 중학 1학년 과학의 ‘빛의 성질’ 단원과 ‘파동’ 단원에서 반복해서 학습하는 중요한 부분이다.

우리는 아침에 눈을 뜨는 순간부터 물체에 ‘반사’된 빛이 우리 눈 속의 투명 볼록렌즈인 수정체에서 빛의 ‘굴절’을 통해 망막에 상이 맺히는 것을 보게 된다. 눈뜨는 순간부터 잠자리에 들 때까지 하루 종일 빛의 반사와 굴절을 경험하게 되는 것이다.

직진하던 빛이 물체에 닿아 되돌아 나오는 현상을 ‘빛의 반사’, 또 빛이 서로 다른 물질의 경계면에서 진행 방향이 꺾이는 현상을 ‘빛의 굴절’이라고 한다.

빛의 반사는 거울에서, 굴절은 렌즈를 통과하면서 일어나게 된다. 잘 찾아보면 우리 생활 곳곳에 빛의 반사와 굴절의 원리를 경험할 수 있는 물체가 많다. 거울은 빛의 반사를 보여 주는 대표적인 예. 식사 때마다 사용하는 숟가락 역시 빛의 반사와 굴절을 설명하는 좋은 도구가 된다.

빛의 반사를 보여 주는 숟가락

우선 숟가락의 바깥쪽 볼록한 면은 볼록거울과 비슷한 역할을 한다. 볼록거울은 실제보다 작지만 넓은 범위의 상이 반사되어 자동차의 백미러나 슈퍼마켓의 도난방지 거울로 사용된다.

반면 숟가락의 안쪽, 오목한 면은 오목거울의 역할을 한다. 멀리서 보면 상이 거꾸로 이지만 가까이 다가가면 상이 바로 서면서 아주 큰 상을 볼 수 있다. 오목거울이 여성들의 화장거울로 사용되는 까닭도 바로 땀구멍까지 다 보일 만큼 상을 가까이 자세히 볼 수 있다는 장점 때문이다.

또한 자동차의 헤드라이트나 손전등의 전구를 감싸고 있는 거울은 모두 오목거울인데, 이 역시 오목거울의 빛을 모으는 성질 때문이다. 빛을 모아서 어두운 곳을 향해 빛을 밝히는 원리가 바로 오목거울을 활용한 손전등의 원리이다.

어렸을 때 돋보기(볼록렌즈)로 빛을 모아 검은 종이를 태우던 불장난을 해본 학생이라면 볼록렌즈가 빛을 모은다는 사실은 기억할 것이다. 이때 돋보기로 빛을 모은 점이 바로 초점이다. 오목거울과 볼록렌즈가 빛을 모으는 성질이 있다는 것을 기억해 두자.

떠 보이는 물고기는 빛의 굴절 때문

빛은 다른 매질(공기를 통과할 때는 공기가 매질이 되고, 물속을 통과할 때는 물이 매질이 된다)을 만나면 굴절한다. 그 이유는 바로 매질에 따라 빛의 속력에 차이가 있기 때문.

빛은 가장 빠른 길을 통해 진행하는 성질이 있기 때문에 속도가 빠른 매질에서의 통과 거리를 더 길게, 속도가 느린 매질에서의 통과거리는 짧게 하기 위해 굴절하는 것이다. 즉 정리하자면, 빛의 속력이 공기>물, 따라서 공기에서 물속으로 들어가면 입사각>굴절각이 되면서 빛이 꺾이는 것이다.

컵에 물을 담고 연필을 넣어두면 꺾여 보이는 것도 같은 이치다.

그런데 우리 눈은 빛의 굴절 현상을 인지하지 못하고 항상 빛은 직진한다고 착각하기 때문에 색연필의 물에 잠긴 부분이 떠올라 보이게 된다.

사실 항상 켜 있는 것 같은 형광등도 계속 깜박거리고, 영화나 동영상도 1초에 30장 이상의 사진이 연결되어 움직이는 것처럼 보이는 착시다.

우리 눈은 반사되어 들어오는 빛도 직진해서 들어온다고 생각하기 때문에, 착시 현상에 의해 실제 위치보다 더 위에 위에 있는 것처럼 보인다. 그래서 물속의 물고기를 창으로 잡을 때는 눈에 보이는 위치보다 살짝 아래쪽을 찔러야 물고기를 잡을 수 있다. 이른바 빛의 굴절 현상으로 떠 보이는 물고기이기 때문이다.