[理知논술/중학 교과원리]수학-과학

■수학 - <12>생활 속의 기하

눈금없는 자와 컴퍼스로 작도 불가능한 경우는

평면상의 삼각형, 사각형 등의 다각형을 배우다가 공간상의 위치관계를 배우게 되면 많은 학생이 당황해한다. 실제 그림으로는 표현의 한계가 있기 때문에 머릿속으로 많은 위치관계를 생각하며 문제를 풀어야 하기 때문이다. 직접 연필과 종이를 들고 직선과 평면의 위치관계를 따져 봐도 어딘가 시원치 않고 어렵다는 생각을 할 것이다.

이때 가장 좋은 도구가 직육면체 모양의 화장지 통이다.

이 안에는 도형의 기초인 점, 선, 면이 모두 들어 있고 또 점과 직선, 점과 평면의 위치관계뿐 아니라 우리의 머리를 아프게 하는 직선과 직선, 직선과 평면, 평면과 평면의 위치관계까지 완벽하게 들어 있다.

먼저 직육면체로 딱 끝나는 선분과 면을 생각하지 말고, ‘이들이 길게 뻗어 나갈 수 있다’라는 확장의 개념을 가지고 직육면체를 들여다보도록 하자.

각각의 꼭짓점을 점으로, 모서리를 직선으로 6개의 면을 평면으로 생각하면 점과 직선의 위치관계로 면 ABCD상에서 점 A는 직선 AB, 직선 AD 위에 있는 것을 알 수 있고 또 직선 BC와 DC 위에는 있지 않다.

또한 직선과 직선의 위치관계로 만나는 경우, 평행한 경우, 꼬인 위치(만나지도 평행하지도 않는 관계)인 경우도 쉽게 찾아볼 수 있다. 이들을 기준으로 그 위에 종이를 한 장 얹는다고 생각하면 만나는 경우와 평행한 경우는 종이를 완벽하게 얹어 놓을 수 있으므로 평면을 결정하지만 꼬인 위치는 절대로 평면을 결정할 수 없음을 확인할 수 있다.

왜 작도를 할 때는 ‘눈금 없는 자’와 ‘컴퍼스’만을 사용할까?

고대 그리스인들은 말뚝과 새끼줄을 사용해 작도를 했다. 그들은 가장 완전한 도형이 직선과 원이라는 믿음을 가지고 있었기 때문인데 그리스의 웅장한 파르테논 신전도 이 간단한 도구로 설계하여 세운 것이라고 한다. 말뚝과 새끼줄 사용을 고집하는 바람에 여러 가지 어려운 점은 있었지만 이로 인해 발생하는 많은 문제를 해결하려고 노력하는 와중에 수학은 눈부신 발전을 하게 되었다.

이것이 중학교 1학년 과정에서 배우게 되는 작도이다. 우리도 역시 눈금 없는 자와 컴퍼스로 기본 도형들을 손쉽게 그려낼 수 있다.

서술형문제에서도 자주 등장하는 작도의 준비물로 항상 ‘눈금 없는 자’를 사용하는 이유는 자에 나타나 있는 길이를 재는 눈금으로 도형들을 작도하는 것이 아님을 의미한다.

자는 단지 선분을 잇기 위한 도구일 뿐 눈금을 재고 각을 재는 등의 역할은 모두 컴퍼스가 하게 된다. 컴퍼스로는 한 중심을 기준으로 거리가 같은 점들의 모임인 원을 그려낼 수 있고 그 이유로 거리가 같은 점을 무수히 많이 표시할 수 있기 때문에 도형을 옮기거나 그려내는 데 중요한 역할을 하게 된다.

그렇다고 모든 도형을 작도할 수 있는 것은 아니다. 다음의 세 가지 작도는 성공하지 못했고, 18세기에 이르러서는 ‘눈금 없는 자’와 ‘컴퍼스’만으로는 작도가 불가능하다는 것이 밝혀졌다.

1. 임의의 각을 삼등분하는 작도

2. 주어진 정육면체의 2배의 부피를 가지는 정육면체의 작도

3. 주어진 원과 같은 넓이를 가지는 정사각형의 작도

여기서 우리는 2, 3번과 같은 전문적인 부분까지는 아니더라도 중학교 과정 중, 90도의 삼등분 과정을 배우면서 강조된 부분, 즉 90도는 삼등분이 가능하지만 모든 각이 삼등분 가능한 것은 아니라는 사실을 꼭 기억해야 한다.

강현정 엠베스트 교육㈜ 수학강사

▼풀어서 보내요▼

A마을에 있는 어떤 상인이 말을 타고 강가에 가서 말에게 물을 먹인 후에 B마을로 가려고 한다. 가장 짧은 거리로 B지점까지 가려고 할 때 다음에 표시된 직선 위의 한 점이 바로 말이 물을 먹을 지점이라고 한다.

그 이유를 설명하고 보조선이 주어지지 않은 경우 말에게 물을 먹일 지점을 작도하여 보자.

■과학 - <12>여러 가지 원소 이야기

금속도 비금속도 아닌 ‘반도체’ 대표 원소는?

학생들은 한번쯤 과학실 뒤편에 붙어 있는 원소 주기율표를 본 적이 있을 것이다. 뭔가 알 듯 말 듯한 기호가 가득히 적혀 있는 그 표를 보면서 막연히 화학에 대해 두려움을 갖기도 한다. 하지만 나중에 고등학생이 돼 원소의 주기성에 대해 배우게 되면 세상의 모든 물질을 이루는 근본입자인 원자들의 규칙성과 그 오묘함에 감탄을 하게 될 것이다.

본격적으로 원소에 대해 배우는 것은 고등학교 과정에서이지만, 중학교 과정에서도 이 주기율표에 나와 있는 원소들 중 중요한 몇 개 원소에 대해서는 다루고 있다.

원소에 대해 공부할 때 가장 중요한 것은 금속 원소와 비금속 원소를 나누어 구분하는 것이다.

금속 원소의 특징

원소는 금속 원소와 비금속 원소로 나누어지는데, 금속 원소는 ‘금속’이라는 단어에서 연상되는 것처럼 금속성 광택이 있어서 반짝반짝 빛나고, 전기가 잘 통하며, 열도 잘 전달한다.

구리(Cu)가 주성분인 동전이나, 은(Ag)이 주성분인 은수저를 생각해 보자.

집에 있는 은수저를 뜨거운 국그릇에 담가 놓으면 금세 숟가락이 뜨거워지는 것을 느낄 수 있다. 은은 금속원소 가운데서도 특히 저항이 작아 전기와 열을 더욱 잘 전도한다.

비금속 원소의 특징

그렇다면 비금속 원소는 어떤 특징을 갖고 있을까? 비금속 원소는 말 그대로 금속이 아닌 원소이고, 금속과 반대로 열과 전기를 잘 전도하지 않는다. 그리고 주로 상온(섭씨 20∼25도)에서 기체나 액체 상태로 존재한다. 물론 황(S)이나 인(P)처럼 상온에서 고체 상태로 존재하는 일부 원소도 있다.

그렇다면 모든 원소는 반드시 금속과 비금속으로 구분되는 것일까? 꼭 그렇지만은 않다.

금속은 전기가 잘 통하므로 ‘도체’, 비금속은 ‘부도체’라고 부르는데 금속도 비금속도 아닌 이른바 ‘반도체’인 물질도 있다.

반도체 중 대표적인 원소가 바로 규소(Si)이다. 규소는 영어로 silicon(실리콘)이라고 한다. 실리콘 밸리(Silicon Valley)는 세계 유수의 반도체 산업체가 한데 모여 있는 미국 캘리포니아 주의 첨단 기술 단지를 말한다.

반도체는 경우에 따라 전류가 흐르기도 하고, 흐르지 않기도 한다. 이제 우리 생활에서 없어서는 안 되는 컴퓨터는 이러한 반도체의 성질을 이용해 만든 것이다. 반도체에 전류가 흐를 때를 ‘1’, 흐르지 않을 때를 ‘0’으로 표시하는데, 오로지 이 ‘1’과 ‘0’으로만 이루어진 것이 바로 디지털 세상이다. 컴퓨터로 ‘A’라고 타이핑을 하면 ‘01000001’가 된다. 요즘의 고성능 컴퓨터는 무척 똑똑해 보이지만, 사실 컴퓨터가 알아듣는 것은 ‘0’과 ‘1’밖에 없는 것이다.

오늘은 컴퓨터를 사용해보기 전에 이 컴퓨터 속에 금속도 비금속도 아닌 반도체인 규소가 들어 있다는 사실을 되새겨 보자.

최은정 엠베스트 교육㈜ 과학강사

▼풀어서 보내요▼

전류가 잘 흐르는 원소와 잘 흐르지 않는 원소의 종류에는 어떤 것이 있는지 원소의 이름과 기호를 적어 보아라.

▼이 사이트로 보내세요▼

위에 있는 ‘풀어서 보내요’ 문제에 대한 답을 다음 주 월요일까지 보내 주세요. 잘된 답 가운데 일부를 선정해 선물을 보내 드립니다.

글 보내실 곳: www.easynonsul.com → 중학논술 →교과원리→해당 과목(www.easynonsul.com/Middle/Lecture/)