[理知논술/중학생 통합교과 논술]수의 성질을 활용한 수리논술

다양한 수의 성질 이용하면 논리적인 사고-판단에 도움

《인간이 무리를 이뤄 생활하기 시작하면서 수를 세는 것은 필수 불가결한 일이었고 문명이 발달하면서 수 집합의 종류가 다양하고 복잡하게 된 것은 당연한 일이다. 심지어 외계에 보내는 메시지조차 이진법의 코드로 되어있는 것을 보면 문명이 있는 곳에는 반드시 수가 있다고 생각해도 틀림없을 것이다.

우리나라 사람은 3을 많이 좋아하는데 3은 1과 2가 합쳐져 만들어 음과 양 어느 한쪽으로 치우치지 않은 완전한 존재라 생각하기 때문이다. 세시 풍속에서 인간의 재복과 수명, 자손생산 등을 담당하는 삼불제석(三佛帝釋)이 세 명인 것에도 3의 관념이 배어 있음을 엿볼 수 있다. 즉, 숫자는 수량을 세기 위한 형식일 뿐 아니라 고대 인간의 정신세계를 보여주기도 한다.

우리가 흔히 쉽게 지나치고 살아가고 있지만, 우리 일상생활 속에서 숫자는 다양하고도 깊게 자리 잡고 있다. 굳이 돈 계산이나 어떤 대상의 측정과 같은 수치적인 표현을 생각하지 않더라도 여러 상황에서 수를 사용해 생각하면 이해하기 쉽고 편리한 여러 가지 생활의 지혜도 어렵지 않게 발견할 수 있다.

숫자는 산수를 비롯한 수리과학을 배우기 시작할 때 가장 먼저 접하게 되는 대상이고, 가장 이해하기 쉬운 수학의 도구이다. 이미 잘 알려져 있는 다양한 수의 성질을 이용한다면 그 명료하고 분명한 사고와 판단에 좀 더 논리적인 도움을 얻을 수 있을 것이다.

이번 호에서는 일상생활과 관련된 수의 성질을 활용하는 수리논술 문제를 살펴본다.》

[문제 1]

오랜 옛날부터 지주였던 삼순이네 집에 족보가 있다. 삼순이는 그 족보를 쉽게 알아보기 위해, ‘내가 1번, 아버지는 2번, 어머니는 3번, 아버지의 아버지는 4번, 아버지의 어머니는 5번, 어머니의 아버지는 6번, 어머니의 어머니는 7번, 아버지의 아버지의 아버지는 8번, 아버지의 아버지의 어머니는 9번……, 하고 번호를 붙였다. 예를 들어 삼순이의 아버지의 어머니의 아버지의 어머니의 어머니는 43번이다. 그렇다면 2002번은 삼순이와 어떤 관계일까?

(해답 예: 삼순이의 아버지의 어머니의 아버지의 어머니의 어머니)

[풀이 해설 및 정답]

답을 먼저 말하면, ‘삼순이의 어머니의 어머니의 어머니의 어머니의 아버지의 어머니의 아버지의 아버지의 어머니의 아버지’이다.

왼쪽의 숫자는 삼순이가 붙인 숫자이고, 이 숫자를 2진법으로 바꾸면 규칙적이 된다. 삼순이를 1이라 하고 ‘아버지는 0, 어머니는 1’을 붙인 숫자가 된다.

문제에서 든 예를 살펴보면, 삼순이의 아버지의 어머니의 아버지의 어머니의 어머니는 2진법으로는 101011이 되며 10진법으로는 43이 된다.

2002를 2진법으로 바꾸면 11111010010이 된다. 그러므로 답은 ‘삼순이의 어머니의 어머니의 어머니의 어머니의 아버지의 어머니의 아버지의 아버지의 어머니의 아버지’이다.

[문제 2]

기름이 들어있던 항아리 1개와 도둑 39명이 들어 있던 항아리 39개, 모두 합쳐서 40개의 항아리가 1m 간격으로 일렬로 늘어서 있다. 펄펄 끓는 기름이 든 큰 냄비는 1부터 39까지의 어느 항아리 앞에나 놓을 수 있다.

일단, 항아리 앞에 놓은 큰 냄비는 이동시킬 수 없으며, 큰 냄비로부터 국자로 펄펄 끓인 기름을 떠서 한 항아리에 기름을 넣고 그때마다 다시 큰 냄비가 있는 자리로 돌아가 1부터 39의 모든 항아리에 기름을 떠 넣는다. 여종 마르자나가 1m 이동하는 데 1초, 항아리 하나에 기름을 넣는 데 30초, 국자로 기름을 한 번 뜨는 데 30초가 걸린다.

마르자나는 도둑의 두목이 언제 항아리가 놓인 곳으로 나타날지 걱정스러우므로, 가능한 한 짧은 시간에 1부터 39의 항아리에 기름을 붓고 싶다. 몇 번 항아리 앞에 기름이 든 큰 냄비를 놓으면 좋을까? 그리고 시간이 얼마나 걸릴까?

[풀이 해설 및 정답]

제일 가운데에 있는 20번째 항아리 앞에 기름 냄비를 놓으면 첫째부터 20번째 항아리 사이에 19군데, 20번째부터 39번째까지도 19군데이므로 이동하는 거리는 편도만으로 (1+2+…+19)×2=380m이고, 왕복이면 2배인 760m 이동하므로 이동하는 데에는 760초, 즉 12분 40초가 걸린다. 국자로 기름을 떠서 항아리에 기름을 붓는 데에 1개의 항아리에 1분이 걸리므로 39개의 항아리 전부에는 39분이 걸리고, 따라서 12분 40초에 39분을 더한 시간이 걸린다. 즉, 51분 40초가 걸린다.

[문제 3]

삼순이의 레스토랑에는 단골이 많았다. 그녀는 매번 단조로운 식단으로 단골들을 실망시키고 싶지 않았다. 그래서 그녀는 최소 1년 동안은 반복되지 않을 식단을 짜보기로 했다. 그녀는 식당의 음식들이 기본적으로 네 가지로 구성되어 있다는 것을 알고 있다.

(1) 사이드 디시 1 : 감자 또는 그와 비슷한 음식

(2) 메인 디시: 고기 또는 생선

(3) 사이드 디시 2: 야채

(4) 후식

그녀의 계획은 아래의 표로 구체화 되었다.

사이드 디시 1	메인 디시	사이드 디시 2	후식
감자칩 삶은 감자 구운 감자 쌀밥	돼지고기 양고기 닭고기 생선 쇠고기	완두콩 당근 옥수수 양배추 양송이 브로콜리 누에콩	사과 파이 아이스크림 과일 샐러드

그해의 첫째 날에 그녀는 감자칩, 돼지고기, 완두콩, 사과 파이를 식단에 올렸다. 그리고 다음 날에는 식단을 구성하는 각 부분들의 음식을 바꾸어 식탁에 올렸다. 세로줄의 마지막 음식이 식단에 오르면 그 다음 날은 그 줄의 맨 위에 있는 음식이 식단에 올랐다. 예를 들어 어느 날에 제공된 음식이 쌀밥, 생선, 누에콩, 사과 파이였다면, 다음 날 음식은 감자칩, 소고기, 완두콩, 아이스크림이 되었다. 식단이 완전히 한 바퀴 돌려면 며칠이나 걸릴까? 또 100일째 되는 날에 제공되는 식단은?

매일같이 바뀌는 식단으로 식당은 유명해졌다. 그래서 삼순이는 새 주방장을 고용했다. 그 주방장은 주인을 기쁘게 해 줄 생각으로 고기 또는 생선 줄에 소시지를, 야채 줄에 순무를 더 추가했다. 그러나 삼순이는 주방장을 해고했다. 왜 그랬을까?

[풀이 해설 및 정답]

식단이 완전히 한 바퀴 도는 데는 420일이 걸린다. 감자 요리 줄의 주기가 4일, 고기 또는 생선 요리 줄이 5일, 야채 요리 줄이 7일, 후식 줄이 3일이다. 따라서 첫 번째 식단의 요리들이 다시 나오는 데 걸리는 시간은 4×5×7×3, 즉 421 일이다.

100은 4와 5로 나누어떨어지므로, 100일째 되는 날에는 쌀밥과 쇠고기가 제공될 것이다. 그리고 더 나아가 100은 7로 나누면 2가 남고, 3으로 나누면 1이 남기 때문에, 나머지 음식은 당근과 사과 파이일 것이다.

소시지와 순무를 고기 또는 생선 줄과 야채 줄에 더하면, 네 줄의 주기가 각각 4, 6, 8, 3이 되고 최소공배수는 24가 되어 버린다. 그러므로 음식이 24일마다 반복되는 것이다.

심소연 정보학원 중등부 수학과 팀장