[교과서 통계 제대로 읽기]<끝>평균 계산 ‘작은 착각’…

■평균 계산 ‘작은 착각’ 통계 왜곡 ‘큰 사고’

대푯값을 산출할 경우 가장 많이 사용하는 것이 평균, 그중에서도 산술평균이다(<표1> 참조). 평균에는 산술평균 외에도 기하평균과 조화평균이 있다. 두 평균의 정확한 의미는 무엇이며 어느 경우에 사용할까?

학생들은 수학 시간에 평균의 세 유형에 관해 배운다. 그러나 각각의 평균 산출 방식들이 어떤 경우에 사용되는지 모르는 경우가 많다. 단지 각 평균을 산출하는 공식과, 이들의 관계를 이용한 수학 문제 풀이에 급급했기 때문이다. <표2>를 참고하여 기하평균과 조화평균이 어떤 경우에 사용되는지 구체적으로 살펴보자.

<문제1>

인구 1만 명이던 도시의 1년 후 인구가 2배로 늘어난 2만 명이었다. 주변에 신도시 바람이 불자 또 1년이 흐른 현재는 인구가 무려 16만 명이 되었다. 결국 1만 명이던 인구가 1년 후에 2배로, 또 1년 후에 8배로 늘어났다. 1년에 평균 몇 배 늘어난 셈인가?

먼저 기하평균을 사용하는 예를 살펴보자. <문제1>의 답은 무엇일까? 산술평균을 이용해서 “<문제1>의 답은 5배”라고 말하면 안 된다. 만약 5배라면 2년 후 그 도시의 인구는 25만 명이어야 한다. 그러나 실제는 16만 명이다. 이런 경우 기하평균을 이용해야 한다. 로서 평균 4배라고 답해야 2년 후 인구 수 16만 명과 일치한다. <문제1>처럼 늘어난 배수의 평균은 산술평균으로 구해서는 안 된다. 기하평균은 비율 또는 배율에 대한 평균을 산출하는 방식으로 인구변동률, 물가상승률과 같이 변화하는 값의 평균을 계산할 때 주로 이용된다.

조화평균이란 ‘주어진 수들의 역수의 산술 평균의 역수’를 말한다(<표2> 참조). <문제2>를 통해 구체적으로 살펴보자.

<문제2>

학교를 자전거로 왕복하는데 갈 때는 4km/h 속도로 가고 올 때는 6km/h 속도로 왔다. 평균 속도는 얼마인가?

이 문제의 답은 무엇일까? 각 속도의 산술평균인 5km/h라고 답하는 사람들이 의외로 많다. 산술평균을 이용했기 때문이다. 그러나 답은 4.8km/h이다. 이 문제에서 찾으려는 평균 속도를 V, 거리를 M, 시간을 T라고 하자. 속도는 거리를 시간으로 나눈 값(V=M/T)이다. 그런데 T는 이다. 이 값은 거리가 M인 곳을 4km/h와 6km/h의 속도로 이동한 경우 소요된 시간에 대한 산술평균값이다. 따라서 V는 으로 정리되며, 결국 V= 가 나온다. 조화평균의 공식과 일치한다.

이처럼 상황에 따라 적절한 평균 산출 방식을 선택해야 의미 있는 평균값을 찾을 수 있다. 통계는 현실을 반영하고 미래를 예측할 수 있게 도와주는 고마운 자료지만, 자칫 왜곡된 현실과 왜곡된 미래를 보여 줄 수 있다. 따라서 통계자료를 정확하게 분석할 수 있는 능력을 지녀야 한다. 그 첫걸음이 평균의 올바른 이해다.

<물음>

어떤 사람이 100m를 뛰는 데, 3회 뛴 시간이 a초, b초, c초다. 평균값을 찾는다면 어떤 방식으로 구해야 하는가?답: 조화평균

윤상철 경희여고 철학교사