도중에 끝난 돈내기, 파스칼이 해결한 상금분할 방법은?
※ 다음 제시문을 읽고 논제에 답하시오.
(가) 18세기 프랑스 도박사 드 메레(de Mere)는 당시 최고의 수학자인 파스칼에게 도박과 관련된 문제를 의뢰했다. 흔히 ‘점수문제(problem of point)’라고 불리는 이 문제는 확률론이 발전하는 계기를 마련했다. 드 메레는 파스칼에게 다음과 같은 편지를 보냈다.
“실력이 같은 두 사람 A, B가 각각 32피스톨씩의 돈을 걸어 한 번 이기면 1점을 얻는 것으로 하고, 먼저 3점을 얻는 사람이 64피스톨을 모두 갖는 내기를 했다네. 그런데 이 내기에서 A가 2점, B가 1점을 따 놓은 상황에서 한 사람이 건강이 좋지 못하여 더는 시합을 할 수 없게 되었다네. 그러면 이 경우 어떻게 해야 하는가? 시합을 무효로 하자니 A가 억울해하고, A가 2점, B가 1점을 얻었으므로 A가 이긴 것으로 하자니 B가 승복할 수 없다고 하니 어떻게 해야 할지 모르겠네. 도대체 64피스톨을 어떻게 분배하는 것이 좋겠나?”
글 싣는 순서(수리) | |
1 | 집합과 논리 (1) |
2 | 집합과 논리 (2) |
3 | 수와 식 (1) |
4 | 수와 식 (2) |
5 | 수와 식 (3) |
6 | 도형과 문제 해결 (1) |
7 | 도형과 문제 해결 (2) |
8 | 함수의 활용 (1) |
9 | 함수의 활용 (2) |
10 | 함수의 활용 (3) |
11 | 지수·로그의 실생활 응용 (1) |
12 | 지수·로그의 실생활 응용 (2) |
13 | 행렬의 실생활 응용 (1) |
14 | 행렬의 실생활 응용 (2) |
15 | 수열과 추론 (1) |
16 | 수열과 추론 (2) |
17 | 수열과 추론 (3) |
18 | 수열의 극한의 활용 (1) |
19 | 수열의 극한의 활용 (2) |
20 | 경우의 수란 무엇인가? |
21 | 확률의 활용 (1) |
22 | 확률의 활용 (2) |
23 | 통계의 허와 실 (1) |
24 | 통계의 허와 실 (2) |
(나) 드 메레의 편지를 받은 파스칼은 다음과 같은 내용의 편지를 답장으로 보냈다.
“만약 시합을 중단하지 않고 계속했을 때, 네 번째 시합에서 A가 이긴다면 점수는 A가 3점, B가 1점이므로 A는 64피스톨을 다 가져야 하네. 만약 네 번째 시합에서 B가 이기면 점수는 A가 2점, B가 2점이므로 A와 B는 각각 32피스톨씩을 가지면 되네. 결과적으로 A는 네 번째 시합에서 이기든 지든 상관없이 32피스톨을 가져야 하네. 그 다음 시합에서 이기는 사람이 승자가 되는데 A, B가 서로 이길 확률이 각각 반반이므로 나머지 32피스톨을 똑같이 16피스톨씩 나누어 가지면 된다네. 따라서 A는 32+16=48피스톨, B는 16피스톨을 가지면 문제는 합리적으로 해결될 것이네.”
(다) 파스칼은 자신과 쌍벽을 이루던 수학자 페르마에게 이 문제와 자신의 풀이를 보냈는데 페르마는 다른 방법으로 문제를 해결했다.
“A가 2점, B가 1점을 득점한 경우 앞으로 최대 2번으로 승패가 결정된다. 이때 나타날 수 있는 경우는 모두 네 가지인데 2번 모두 A가 이기는 경우, A가 이기고 그 다음에 B가 이기는 경우, B가 이기고 나서 A가 이기는 경우, 2번 모두 B가 이기는 경우이다. 이 네 가지 경우 중 최종적으로 A가 이기는 경우는 앞의 세 가지이고, B가 이기는 경우는 마지막 한 가지이다. 따라서 A는 64의 3/4인 48피스톨을 갖고, B는 나머지 16피스톨을 가지면 된다.”
(라) 페르마는 이 풀이법을 파스칼에게 보냈고, 파스칼은 이에 착안하여 ‘이항정리’로 이 문제를 다시 풀었다.
“A가 2점, B가 1점을 득점한 경우 승패를 가리기 위해 치러야 하는 게임이 최대 2번이므로 제곱식을 이용할 수 있다. (A+B)²=A²+2AB+B²에서 첫째항 A²과 둘째 항 2AB는 A의 승리가 되며 B²은 B의 승리가 된다. 따라서 A와 B가 승리할 때의 계수는 각각 3과 1이므로 …이 A가 승리할 확률이며, 나머지 이 B가 승리할 확률이다.”
* 이항정리
위 식은 a,b에 대한 항등식이다.
[논제 1] 제시문 (라)에서 이항정리를 이용한 파스칼의 해법에 대하여 창현이는 이해를 못하고 있다. 여러분이 창현에게 파스칼의 풀이과정을 논리적으로 설명해 보시오.
[논제 2] 제시문 (가)의 문제에서 만약 두 사람의 실력차가 있어서 한 번의 시합마다 A, B가 득점할 확률이 각각 2/3, 1/3이고 다른 상황은 변함이 없다면 A, B가 차지해야 할 몫은 얼마인지를 제시문 (나), (다)의 방법으로 각각 설명하시오.
☞ 예시답안은 이지논술 홈페이지(easynonsul.com)에 있습니다.
김기철 청솔 아우름 통합논술 강사
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