[理知논술/날아오르는 창의사고력]동화내용 문제로 만들면…

어린 왕자… 콩쥐와 팥쥐… 동화내용 수식문제로 만들면 수학재미도 쑥쑥

수학적 지식을 구성하는 가장 좋은 방법은 수학적 경험을 통해 탐구활동을 스스로 전개한 뒤 문제를 조사·분석하여 해결하는 것이다. 이런 과정이 의미 있는 학습이 되기 위해서는 현실감 있고 흥미로운 소재로부터 출발해야 한다. 수학적 경험이란 ‘수학이 우리의 삶 전체에 있다’는 뜻이다. 우리는 하루 종일 수학과 만난다. 아침에 눈을 떠 몇 시인지를 알기 위해 시계를 보고, 집에서 출발하여 학교까지 가는 데 걸리는 시간을 계산하고, 우리 반이 몇 반인지 고려하여 몇 층까지 계단을 올라갈 것인가를 생각하고, 자기 자리가 몇 분단 몇 째 줄인지를 알고 여기에 맞춰 앉게 된다. 그러나 우리의 교육현실은 정형화된 틀에 맞는 수학만을 접하도록 하고 있다. 수학에 대한 흥미를 유발하고 문제 해결에 대한 의욕과 필요성을 자발적으로 느끼게 하는 현실적이고 자연스러운 상황은 어디에서 찾을 수 있을까? 사진, 동영상, 문학 작품, 동화 등은 우리가 늘 접하는 매체다. 그중에서도 유아기 때부터 친숙한 동화는 수 감각을 훌륭하게 기르고 문제 해결 능력을 신장시킬 수 있는 도구다. 동화책에는 주로 사람이나 동물이 등장하게 된다. 우리는 등장인물들의 수를 어림함으로써 수 감각을 익히고, 등장인물들의 성품(좋고 나쁨 등)을 분류함으로써 분석의 기술을 배우게 된다. 또 등장인물들의 특징(덩치 크기 등)을 비교해 봄으로써 어림할 수 있는 능력과 측정하는 방법을 배우게 된다. 수학을 매개로 한 동화를 통해 생동감 있는 수학을 느껴보는 기회를 가져보도록 하자.

김형진 영재사관학원·수학영재만들기 대표원장

“콩쥐 혼자 곡식 석섬을 어떻게…” 참새 몇마리가 와서 도왔을까

문제 [1] 콩쥐와 팥쥐

전라도 전주 근방에 최만춘이란 사람이 부인 조 씨와 딸 콩쥐와 살았습니다. 콩쥐의 어머니는 병이 들어 죽고, 배 씨라는 과부를 얻어 후처로 삼았습니다. 배 씨는 팥쥐라는 딸을 낳았는데, 아버지는 어미 없는 콩쥐가 불쌍해 팥쥐보다 더 사랑하였고, 이에 배 씨는 콩쥐를 학대하기 시작하였습니다. 어느 날 외가에서 잔치가 있다는 소식을 들은 배 씨는 팥쥐와 함께 떠나면서 콩쥐더러 곡식 석 섬을 찧어놓고 외가로 오라고 하였습니다. 배 씨와 팥쥐는 오전 9시에 집을 떠나 외갓집으로 향하였고, 배 씨와 팥쥐가 가자마자 새들이 와서 곡식의 껍질을 모두 까 주었습니다. 콩쥐는 오후 2시가 되어서 비로소 외가로 떠날 수 있었습니다. 참새 3마리는 2시간 동안 곡식 한 되의 껍질을 깔 수 있고, 한 되는 한 말의

이고, 한 말은 한 섬의 일 때, 참새 몇 마리가 날아와 콩쥐를 도왔는지를 구하시오. (단, 모든 참새는 같은 속도로 곡식의 껍질을 깝니다.)

■ 선생님의 도움

① 계획: 석 섬은 몇 되이며, 참새가 몇 시간 동안 곡식을 까 주었는지를 알아봅니다.

② 실행: 곡식의 껍질을 모두 까는 데 걸린 시간은 오전 9시부터 오후 2시까지 5시간이고, 참새 한 마리가 1시간 동안 깔 수 있는 곡식은 (한 되) × ⅓ ×½= 1/6(되)입니다. 콩쥐가 까야 하는 곡식은 모두 (석 섬)=(30말)=(300되)이므로 5시간 동안 모두 까기 위해 필요한 참새는 300 ÷ 5 ÷1/6 = 360(마리)입니다.

③ 반성: 문제를 바르게 이해했고, 구한 결과가 옳은지 확인합니다. ‘되’와 ‘섬’의 관계를 생각해 봅니다.

문제 [2] 아라비안나이트

어느 날 알리바바는 숲에서 나무를 하다가 말발굽 소리를 듣고 나무 뒤에 숨었습니다. 40명의 도적이 근처에 멈춰 섰고, 도적들의 두목이 바위로 다가가더니 주문을 외치는 것이었습니다. 그러자 바위 문이 열렸고 도적들은 안으로 들어갔습니다. 알리바바는 도적들이 동굴 밖으로 나와 말을 타고 떠날 때까지 기다렸습니다. 도적들이 떠나자 바위로 다가가서 몰래 들은 대로 주문을 외쳤습니다. 문이 열리자 보물로 가득 찬 동굴 안이 보였습니다. 동굴은 다음 그림과 같이 가운데를 제외한 8개의 방으로 되어 있었고, 보석과 금화와 은화로 가득 찬 상자 32개가 다음과 같이 쌓여 있었습니다.

1	7	1
7	-	7
1	7	1

10 이상의 수를 셀 수가 없었던 도적들은 자신들의 보물을 누가 훔쳐가지 않을까 걱정한 끝에 보물 상자의 개수를 가로와 세로의 합이 9가 되도록 위치시켰다는 것을 알았습니다. 이런 사실을 알아낸 알리바바는 고민하다 상자의 위치를 바꾸고 상자 4개를 가지고 집으로 돌아왔습니다. 그 후 도적들이 돌아와서 보물 상자의 수를 확인해 보았으나 이상이 없었습니다. 알리바바가 상자를 가져갔을 때 보물 상자를 옮기는 방법은 모두 몇 가지가 있는지 구하시오.

문제 [3] 이솝이야기: 여우와 두루미

여우의 집에 초대받은 두루미는 맛있는 음식을 먹으려는 기대를 하며 여우의 집에 왔습니다. 여우의 집에서는 맛있는 냄새가 풍겼고, 식탁에는 납작한 접시 위에 맛있는 국이 담겨져 있었습니다. 여우는 국을 맛있게 먹었지만 두루미는 부리가 뾰족해서 접시에 있는 국을 먹을 수가 없었습니다. 여우에게 속은 두루미는 복수하기로 결심하고 여우를 저녁 식사에 초대했습니다. 두루미는 다음과 같이 목이 좁고 긴 병에 맛있는 고깃국을 가득 담아 여우에게 주었습니다. 하지만 여우는 한 번 입을 댄 후로 국을 먹을 수 없었습니다. 두루미의 부리의 길이가 20cm일 때, 두루미는 몇 mL의 국을 먹을 수 있겠습니까?

문제 [4] 어린왕자

나는 어린왕자의 그 별과 여행에 대해 이야기를 듣게 되었다. 세 번째 이야기는 바오바브나무였다.

“나의 별에도 다른 별들처럼 좋은 풀과 나쁜 풀이 있단다. 그 씨는 땅 속에서 몰래 자고 있다가 깨어날 때가 되면 기지개를 켜고 조심스럽게 태양을 향해 내밀게 되지. 그게 무나 장미나무의 싹이라면 마음껏 자라게 내버려 두어도 돼. 하지만 그게 나쁜 풀이라면 바로 뽑아버려야 해. 그게 바로 바오바브나무 인거지. 이 바오바브나무는 자칫 늦게 손을 대면 별 전체를 휩싸버리고, 게다가 별이 너무 작으면 터져버릴 수도 있어. 참, 내가 아는 별에 게으름뱅이가 사는데, 그 게으름뱅이는 바오바브나무를 셋이나 허술히 넘겨 버렸어”라고 어린왕자는 말했다.

어린왕자는 그 게으름뱅이의 별을 잠시 회상하더니 눈물을 글썽이면서 내게 말했다.

“생각해 보니 그 별은 굉장히 작았어. 반지름이 4m인 구야. 막 싹을 틔운 바오바브나무의 줄기는 반지름이 8cm이지. 그런데 그 작은 바오바브나무는 무서운 속도로 커다란 나무가 되어가는 거야. 그 작은 바오바브나무는 하루가 지날 때마다 땅과 맞닿은 면적이 두 배가 되어버리지. 그래서 그 게으름뱅이가 겨우 세 그루의 바오바브나무에 손을 대지 못했던 거야. 참 슬픈 일이지.”

나는 어린왕자의 이야기를 듣고 난 후, 게으름뱅이가 사는 별의 바오바브나무가 자라기 시작하여 10일 후의 모습을 그려보았다. 10일 후 바오바브나무가 차지하는 면적의 비율은 게으름뱅이가 사는 별의 면적의 몇 %일까?(단, 막 싹을 틔운 바오바브나무가 차지하는 면적은 평평하다고 가정합니다.)

문제 [5] 스핑크스 이야기

전설상 가장 유명한 스핑크스는 보이오티아 테베의 날개 달린 스핑크스입니다. 그것은 뮤즈가 가르쳐준 수수께끼(“목소리는 같지만 발이 4개가 되기도 하고 2개가 되기도 하고 3개가 되기도 하는 것은 무엇인가?”)를 사람들에게 묻고 틀린 답을 말하는 사람을 잡아먹어 사람들을 공포에 떨게 했다고 합니다. 마침내 오이디푸스가 정답(“유아기에는 4발로 기고 자라서는 2발로 걷고 노년기에는 지팡이에 의지하는 사람”)을 맞추자 스핑크스는 그 자리에서 자결했다고 합니다. 이 이야기에서 스핑크스가 전지(全知)하다는 전설이 나왔음이 분명합니다. 따라서 오늘날에도 스핑크스의 지혜는 속담이 될 만큼 유명합니다.

어느 젊은이가 스핑크스 앞을 지나가게 되었습니다. 스핑크스가 낸 문제를 맞히는 경우에만 지나갈 수 있다고 했습니다. 스핑크스가 낸 문제는 다음과 같습니다.

“나는 1부터 60까지 수가 쓰인 똑같은 모양의 구슬 60개를 가지고 있다. 이 중 한 개의 구슬을 빼내었다. 넌 단지 세 가지 질문을 해서 내가 빼낸 구슬에 어떤 수가 쓰여 있는지 알아내야 한다.”

그리고 젊은이는 다음과 같은 질문을 했습니다.

“구슬의 번호가 30번 아래입니까?”

“구슬의 번호를 3으로 나눌 수 있습니까?”

“구슬의 번호가 완전제곱수입니까?”

세 가지 질문에 스핑크스는 모두 “아니요”라고 답했고, 세 대답 중 하나는 거짓이라고 알려주었습니다. 결국 젊은이는 스핑크스가 빼낸 구슬의 번호를 알아맞혀 지나갈 수 있었습니다. 스핑크스가 빼낸 구슬의 번호는 몇 번입니까?(단, 우연히 맞히는 경우는 생각하지 않습니다.)

문제 [6] 이솝이야기: 여우와 포도

여우는 점심때가 지나도록 아무것도 먹지 못하고 있었습니다. 배가 고파진 여우는 만사를 제쳐두고 먹이를 찾아 나서기로 했습니다. 한참을 헤매던 여우는 마침내 포도밭을 발견했습니다. 여우는 높다랗게 달려 있는 포도송이를 올려다보았습니다. 그러나 포도가 너무 높이 달려 있어 따먹기가 힘들어 보였습니다. 여우는 포도가 먹고 싶어 포도밭 울타리를 넘어보려 했지만 너무 높아 넘을 수가 없었습니다. 이곳저곳 살펴보다 한쪽 구석에 난 조그만 원 모양의 구멍을 발견했습니다. 여우는 조그만 구멍에 머리를 쑥 집어넣었습니다. 그런데 여우의 배가 너무 나와 구멍을 통과할 수가 없었습니다.

구멍의 단면인 원의 넓이는 200πcm²이고, 여우의 배의 단면의 넓이는 324πcm²입니다. 여우가 하루를 굶을 때마다 배의 반지름이 2cm씩 줄어든다고 할 때, 여우는 며칠을 굶어야 구멍으로 들어갈 수 있습니까?(단, 여우의 배의 단면의 모양은 원입니다.)

[정답] 2=35가지 3=(126π + 840)mL 4=30.72%

5=49 6=이틀

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