[理知논술]논술에 강한 수학

수학-현실이 만나는 점 ‘근삿값’

제시문서 관계식을 파악하고

‘이항정리’ 이용해 답안 작성

근삿값이란 수학과 현실의 만나는 점이라 할 수 있다. 당신의 키는 얼마인가? 우리는 대략 반올림 내지 올림을 통해 cm 단위로 말한다.

하지만 엄밀히 말하자면 mm 단위뿐만 아니라 더 작은 숫자까지 표현해야 정확한 우리의 키라고 말할 수 있다. 심지어 유리수일 확률보단 무리수일 확률이 크다. 그러나 우리는 살아가는 데 있어 그렇게 정확한 값은 필요로 하지 않기 때문에 대략적인 근삿값만을 사용할 뿐이다. 현실에서는 근삿값이 거의 모든 곳에 쓰인다.

그렇다면 간단한 근삿값이 아닌 좀 더 복잡한 근삿값에 대한 문제 하나를 살펴보자. 다음 문제는 고려대 수리논술 문제의 일부분이다.

「중국은 1978년 개혁 개방정책 시행 이후 고도의 경제 성장과 급격한 사회적 변화를 겪고 있다. 양적 경제 성장과 대규모 무역흑자라는 긍정적 현상의 이면에는 화석연료의 과다한 사용과 자연적·인위적 요인에 의한 사막화 등 환경 문제가 내재되어 있다. 이러한 환경 문제의 심화는 장기적으로 중국의 경제 성장을 저해하는 중요한 요인 중의 하나가 되고 있다. 사막화로 인한 황사 등 중국의 환경 문제는 자국 내에만 영향을 미치는 것이 아니라 주변 국가 특히 한국과 일본에 막대한 영향을 끼치면서 국제적인 문제로 확대되고 있다. 이러한 문제에 공동으로 대처하기 위해 구성된 한·중·일 환경장관 회의에서 지금까지의 다자간 환경 협력과는 다른 매우 구체적이면서 실천적인 방안이 제시되었다. 즉 2002년 2월에는 공동협력 프로그램인 TEMM 프로젝트에 관한 구체적인 9개 사업을 추진한 바 있는데, 조림사업을 포함한 생태 환경 복원사업이 그 대표적인 예라 하겠다. 일차적 과제는 피해 예측과 비용 계산을 위한 기초 자료의 축적이다. 한 연구소에서 시뮬레이션을 위해 정리한 자료에 따르면, 황사 농도는 몽골과 중국에 걸친 사막 지역의 넓이에 비례하여 증가하고 있다. 현재까지 사막 지역은 전년도에 비해서 매년 0.1%씩 확대되었으며 앞으로도 그럴 것으로 추정된다. 또한 고도정밀 산업의 발달과 사회 발전으로 인하여 미래에는 황사의 농도가 2배 증가할 때마다 황사로 인한 전체 피해 규모는 8배씩 증가할 것으로 예측된다.

논제) 황사는 이미 ‘삼국사기’에 ‘토우’로 기록되어 있고, 조선 태종 때는 그 현상을 관측하였다는 기록도 있듯이 이 현상이 오늘날만의 것은 아니다. 제시문을 근거로 하여, 각자 과거 일정 시점을 정하고 그 시점에서의 황사 농도가 어느 정도였을지를 현재 시점의 농도를 기준으로 추정하시오. 또한 현재와 같이 사막화가 진행될 경우 앞으로 황사로 인한 피해 규모를 예측하시오.」

문제가 요구한 것은, ‘과거의 일정 시점’에서의 황사의 농도이다.

제시문에서 필요한 자료는 단지 두 가지 관계식뿐이다.

「1. 사막 지역은 전년도에 비해서 매년 0.1%씩 확대된다.

2. 황사의 농도가 2배 증가할 때마다 황사로 인한 전체 피해 규모는 8배씩 증가할 것으로 예측된다.」

우선 첫 번째 문제인 과거의 황사의 농도를 구해보자. 매년 0.1%씩증가해온 사막의 넓이에 비례하므로 황사의 농도도 매년 0.1%씩 증가해 왔음을 알 수 있다. A를 올해의 황사의 농도, An을 n년 전 황사의 농도라고 하고 n년 전 황사의 농도를 구하는 식을 세우면 다음과 같다.

이제부터가 본격적인 근삿값 문제이다. n=1로 설정하면 간단한 값을 얻지만 그다지 쓸모 있는 값이라 말할 수 없다. 그렇다고 n=1000으로 둔다면 계산기가 없이는 계산이 불가능해 보이는 수식을 풀어내야 한다. 좋은 방법이 없을까?

이런 복잡한 수식에서 근삿값을 찾을 때 쓰이는 도구가 바로 ‘이항정리’이다. 눈치 빠른 학생들은 무엇인가를 떠올렸을 것이다. 그런 학생들은 아랫부분을 보기 전에 한번 해볼 것을 권한다.

n=1000일 때의 값을 구해보자. 의 값만 구하면 된다. 이항정리를 적용해 근삿값을 구하는 과정은 다음과 같다.

(이렇게 얻은 값 2.67은 실제 의 계산 값인 2.717과의 차이가 짧은 계산과정에 비해 상당히 근접한 값이다.)

따라서 1000년 전에는 지금보다 황사의 농도가 약 배 정도였음을 추측할 수 있다. 이제 연습삼아 남은 한 문제인 미래의 황사 피해 규모를 추정을 해 보길 바란다. 황사의 농도를 구하는 문제가 아닌 피해 규모를 추정하는 것만 잊지 않으면 좋은 답안을 쓸 수 있을 것이다.

안성환 ㈜엘림에듀 집필위원