[신나는 공부]창의력을 잡아주는 해법수학교실

천칭의 최소 횟수

여러 개의 금화 중에서 하나의 가짜 금화가 섞여 있을 때, 천칭을 최소한으로 사용하여 가짜 금화를 찾아내는 문제를 천칭의 최소 횟수 문제 또는 가짜 금화 찾기 문제라 합니다. 예전 영재교육원 시험에서는 주로 무게가 무거운지 가벼운지가 주어져 있을 때 최소 횟수를 묻는 간단한 단답형 문제가 출제되었지만, 최근에는 서술형 형태로 방법이나 이유를 묻는 문제가 자주 출제되고 있습니다.

○ Step1 < 생각 키우기 >

4개의 금화가 있는데 겉으로 보아서는 알 수 없지만 다른 금화보다 가벼운 가짜 금화가 하나 섞여 있습니다. 무게를 잴 수는 없지만 무게를 비교할 수 있는 천칭이 있는데 이 천칭을 이용하여 가짜 금화를 찾아보려고 합니다. 물음에 답하시오. (단, 천칭을 가능한 적게 사용합니다.)

⑴ 2개의 금화(①, ②) 중 하나가 가짜 금화라고 할 때, 천칭을 한 번 써서 무게를 비교하면 다음 그림과 같은 두 가지 경우가 나옵니다. 각각의 경우 가짜 금화는 몇 번 금화입니까?

⑵ 3개의 금화(①, ②, ③) 중 하나가 가짜 금화라고 할 때, 금화 ①, ②를 천칭의 양쪽에 하나씩 달면 몇 가지 경우가 나옵니까? 또, 각각의 경우 가짜 금화는 몇 번 금화입니까?

⑶ 4개의 금화(①, ②, ③, ④) 중 하나가 다른 금화보다 가벼운 가짜 금화라고 할 때, 천칭을 두 번 사용하여 가짜 금화를 찾는 방법을 쓰시오.

○ Step2 < 창의력 넓히기 >

200개의 동전이 있는데, 이 중에서 한 개의 동전은 불량 주화여서 다른 동전보다 약간 가볍다고 합니다. 양팔저울을 가능한 한 적게 사용하여 불량 주화를 찾아내려면, 양팔저울을 몇 번 사용해야 합니까? (단, 양팔저울에 올려놓을 수 있는 동전의 개수에는 제한이 없습니다.)

[생각의 흐름]

① 3개, 9개, 27개의 동전 중에서 가벼운 동전을 하나 찾으려면 저울을 각각 몇 번 사용해야 하는지 구합니다.

② 천칭의 최소 횟수는 동전의 개수가 2개에서 3개일 때 1번, 4개에서 9(3×3)개일 때 2번, 10개에서 27(3×3×3)개일 때 3번, …이므로 규칙을 찾아 최소 횟수를 구합니다.

○ Step3 < 영재교육원 도전하기 >

지능지수(IQ)가 매우 높은 어떤 학생이 있는데, 이 학생에게 선생님이 문제를 냈습니다.

「선생님: 여기에 있는 메달 중에 한 개만 금메달이고 다른 것은 동메달인데, 금메달이 동메달보다 약간 더 무겁단다. 그런데 겉으로 보기에는 똑같기 때문에 양팔저울로 무게를 비교해서 어느 것이 금메달인지 알아내야 할 것 같아. 양팔저울을 되도록 적게 쓰고 싶은데… 몇 번 쓰면 알 수 있겠니?

학생: (메달의 전체 개수를 세어 본 다음) 2번 쓰면 될 것 같네요.」

이 학생이 정확한 판단을 했다면, 다음 중 메달의 전체 개수가 될 수 있는 것을 모두 고르시오.

① 3개 ② 5개 ③ 7개 ④ 9개 ⑤ 11개

※ 해법수학교실에서는 제 7차 교육과정에서 가장 중요시 하는 수준별 이동 수업, 토론 수업 및 영재 교육을 1995년부터 실시하고 있습니다. 특히 해법수학영재교육연구에서는 선진국의 수학 영재 교육 시스템을 연구, 검토해 학생들에게 최고의 수학 영재 교육 프로그램과 자료를 제공하고 있습니다.

○ 정답 및 해설 보기: 해법수학교실(www.hbmath.co.kr)