[Prime TOWN]수학 올림피아드 정복<3>대수 영역

한 문제를 풀더라도 다양한 관점으로 사고!

주 교재 1권 완벽 소화… 이론체계 잡은 뒤 실전연습

한국수학올림피아드(KMO)에서 대수 문제는 1차의 경우 총 20문제 중 3, 4문제, 2차의 경우 총 8문제 중 부등식에서 꾸준히 나오는 1문제를 포함한 2문제가 출제된다. 대수는 KMO의 네 가지 분야 중 가장 기본이 되는 영역으로서, 모든 수학의 기초라고 할 수 있다. 상대적으로 득점하기 가장 쉬운 분야라 시험 준비를 시작할 때도 가장 먼저 공부하고, 시험 준비가 막바지에 이르렀을 때도 가장 자신감을 갖고 접근하는 분야이기도 하다.

대수는 크게 부등식, 함수, 해석학, 수열로 구분된다. 1차 4문제 중 1문제, 2차 8문제 중 1문제 정도는 꼭 출제되는 부등식 영역에서는 주어진 부등식을 ‘증명하라’는 식의 문제가 자주 출제된다. 이 경우 보통 부가적으로 주어진 조건이 있고, 대개의 경우 부등식에 사용된 변수의 범위 등이 조건으로 제시된다.

부등식의 해법에서 활용될 수 있는 방법론 중 기본적인 것만 소개하자면 부등호의 양변의 크기를 서로 빼거나 나누어서 직접 비교하는 ‘비교법’, 산술-기하-조화 평균이나 코시-슈바르츠 부등식 등을 이용해 접근하는 ‘공식법’, 이차방정식 형태에 적용 가능한 ‘판별식법’, 주어진 수식을 다루기 쉬운 형태로 변형하여 접근하는 ‘신축법’, 일차식 형태임을 이용하는 ‘증감성 이용법’ 등이 있다. 다양한 부등식 문제를 다뤄보며 적용되는 방법을 빨리 찾아내는 훈련을 하는 것이 곧 실력으로 직결되므로, 방법론을 안다고 해서 끝나지 않는다는 사실을 명심해야 한다.

대수의 함수 영역에서는 예시된 함수의 특성에서 조건을 만족하는 함수를 찾아내거나 또는 그 경우를 만족시키는 특정 변수의 값 또는 특정 함수 값을 찾는 문제, 주어진 다항식의 최댓값과 최솟값을 구하는 문제 등이 자주 출제되고 있다. 1차 20문제 중 함수(해석학) 문제가 3문제 정도 출제되고 있으므로, 1차 통과를 위해서라면 매우 중요한 영역임에 분명하다.

대수 영역은 1차와 2차에서 각각 주요하게 준비해야 하는 부분이 명확히 구분된다. 1차에서는 함수와 해석학 영역이 20문제 중 3문제에서 많게는 4문제까지 출제된 적이 있다. 2차까지 준비하는 학생이라면 주로 부등식 영역을 준비하는 편이 좋다. 수열도 2005년 2차에서 출제된 적이 있으므로 이에 미리 대비해야 한다.

1, 2차 시험은 시험 형식도 크게 차이가 난다. 1차에서는 정답에 치중해 OMR카드에 기입을 신중히 잘하는 것이 중요하다. 반면 2차에서는 풀이 과정도 모두 채점에 포함되므로 서술식 답안 작성을 미리 연습해야 한다. 서술식 답안 작성에서 가장 중요한 점은 자세하게 쓰는 게 아니라, 최대한 간결하고 정돈된 구조로 필요한 내용만 서술하는 것이다. 오히려 억지스러운 내용을 덧붙이면 감점을 당할 수도 있으니 주의하자.

KMO를 준비하는 학생들이 많이 사용하는 교재 가운데 대수만을 중점적으로 다룬 교재는 없다. 그러나 대수에 관해 준비하려면 ‘올림피아드 수학의 지름길’ 중급 상-하(세화), ‘엠제곱 수학올림피아드 셈본’ 중급-고급(셈틀로미디어) 등으로 이론적인 배경을 쌓은 뒤 ‘엠제곱 실전 수학올림피아드 1400제’ 등 실전 난이도와 비슷한 급의 문제들로 실전 감각을 다지는 순서가 바람직하다.

조급한 마음에 책을 지나치게 자주 바꾼다든가 풀어본 문제의 숫자에만 연연해하는 경우가 많은데 이는 좋지 못한 태도다. 오히려 한 권을 주 교재로 삼아 그 맥락을 따라가면서 체계를 잡고 부족한 부분이 있다고 느낄 때 다른 교재의 도움을 받는 것이 더 효율적이다. 얼마나 많은 문제를 풀었는가보다 한 문제를 풀더라도 다양한 관점에서 깊이 사고했는가 하는 점이 성패를 좌우한다. 수학을 사랑하는 열정만큼 꾸준히 심도 있게 수학을 마주 대한다면 좋은 성과가 있으리라고 믿는다.

이시현 영재사관학원 영재교육센터