[Prime TOWN]창의성 개발을 위한 토론수업<4>

<4>초등 5학년 수학수업의 예

불국사 첨성대 석굴암… 수학여행 1993명 중 같은 곳 구경한 사람은 최소 몇 명?
‘비둘기집 원리’ 이용해 찾아볼까!

영재교육원 입시나 경시대회에서 창의사고력 문제의 비중이 높아짐에 따라 창의수학에 대한 관심도 높아지고 있다. 학부모들도 자녀의 창의사고력을 키우려면 어떻게 해야 하는지 문의하는 일이 많아졌다. 일반적인 문제풀이 수업이나 선행 수업으로는 창의적인 문제해결력을 기르기가 힘들다. 대부분의 학생들이 수학적 원리나 개념을 계산 시 필요한 도구로만 생각하기 때문이다.

수학에 대한 흥미를 잃지 않으면서 창의사고력을 키우게 하려면 수학적 원리나 개념을 실생활에 적용해보도록 하는 것이 좋다. 어떤 경우에는 일반적 사실만으로도 문제를 해결할 수 있다. 예를 들어 3개의 연필을 2개의 필통에 넣으려면 한 필통에는 2개 이상의 연필이 들어갈 것이 분명하다. 이런 일반적 사실이 수학에 사용되면 ‘비둘기집의 원리’가 된다. 비둘기집의 원리는 독일의 수학자 디리클레(Dirichlet)의 이름을 따서 ‘디리클레의 상자 원리’, 혹은 ‘서랍 원리’라고도 한다. 비둘기집의 원리는 매우 간단한 하나의 정리에서 시작된다.

『비둘기 집의 원리

(n+1)마리의 비둘기가 n개의 비둘기 집에 들어갈 때, 두 마리 이상이 들어간 비둘기 집이 적어도 하나 존재하게 된다.』

그럼 본격적으로 문제를 풀어보자.

『영재초등학교는 경주로 수학여행을 갔다. 수학여행을 떠난 학생은 1993명이고 불국사, 첨성대, 석굴암을 구경하기로 했다. 학생마다 적게는 한 곳을 구경할 수 있고, 많게는 두 곳을 구경할 수 있다고 한다. 그러면 구경한 장소가 서로 같은 사람은 최소한 몇 명일까?』

이 문제를 해결하려면 어떻게 해야 할까? 먼저 무엇을 비둘기로 하고, 무엇을 비둘기집으로 할 것인지 전략을 세워야 할 것이다. 학생을 비둘기로, 구경할 장소를 비둘기집으로 정하고 문제를 해결해보자.

(1) 비둘기집이 몇 개인지 찾아본다 → 먼저 구경하는 장소를 구성하는 데 몇 가지 방식이 있는지 구한다.

①불국사만 구경한다.

②첨성대만 구경한다.

③석굴암만 구경한다.

④불국사와 첨성대를 구경한다.

⑤불국사와 석굴암을 구경한다.

⑥첨성대와 석굴암을 구경한다.

학생들은 한 곳 또는 두 곳의 장소를 구경할 수 있다고 했으므로 위와 같이 6가지의 비둘기집이 있다.

(2) 비둘기를 비둘기집에 넣어본다 → 위에서 나온 6개의 방식으로 비둘기집 6개를 만든 다음 학생 1993명을 넣어본다.

1993=6×332+1

학생마다 여섯 개의 집을 마음대로 선택해서 들어갈 수 있고 반드시 한 집에만 들어간다면 1993명이 다 들어간 후 최소한 한 개의 집에 들어가는 사람 수가 333명보다 적지 않은 집이 있다. 그러므로 최소한 333명이 관광한 곳이 적어도 하나는 있다.

위의 문제를 접하고 나면 비둘기집의 원리는 너무 쉬워 보인다. 사실 비둘기집의 원리는 중고교 과정에서 많이 활용되는 원리이기에 우리가 상상하는 것보다 훨씬 다양한 문제에 응용할 수 있다. 여기서 소개한 간단한 문제는 초등학교 과정에서 사고력을 넓히는 출발점이 될 것이다.

문제를 풀 때는 단순히 정답을 찾아내는 데 몰두하기보다는 자신의 생각을 논리적으로 풀어내서 정리하는 연습을 하거나 정해진 방법 외에 더 좋은 풀이법을 찾아보려는 노력이 필요하다.

모르는 부분은 답안지를 보지 않고 가능하면 스스로 문제를 풀려고 끝까지 노력한다면 창의사고력은 쑥쑥 자랄 것이다.

이보영 영재사관학원 수학영재만들기 초등팀장