[신나는 공부] 고1 수학 하위권 탈출 이번 방학이 ‘막차’

중학교 수학에서 다시 출발!

차근차근 업그레이드 ‘Step 3’

동아일보 자료 사진

《1학기 기말고사가 끝나는 7월 중순이면 고1 교실에선 이른바 ‘수포자’(‘수학을 포기하는 자’라는 뜻의 신조어)들이 속출한다.
특히 하위권 학생들의 경우 고등학교에 들어와 처음 치른 중간고사에 이어 기말고사에서도 수학을 망치면 수학공부를 아예 포기해버리기 십상이다. 그렇다면 고등학교 수학은 중학교에 비해 ‘훨씬’ 어려운 걸까?
그렇지 않다. 특히 고1 과정 수학은 중학에서 등장한 개념이 대부분 반복된다. 다만 문제에 담긴 ‘조건’들이 한층 복잡해 보일 뿐이다. 당신은 수학을 포기하고자 하는 고1 하위권인가. 지금이야말로 중학교 수학으로 돌아가야 할 때다.
고등학교 첫 여름방학에 기초를 다잡지 않으면 앞으로 공부할 미적분에 이르러선 수학을 ‘완벽하게’ 포기하는 사태가 닥칠 수 있기 때문이다. 여름방학, 고1 수학에 대한 자신감을 회복하기 위한 3단계 비법을 알아보자.》
[Step 1] 중학 수학교과서로 돌아가라

고1 1학기에 해당하는 단원은 ‘집합과 명제’, ‘수 체계’, ‘식의 계산’, ‘방정식과 부등식’, ‘도형의 방정식’. 그런데 이들 단원에 속하는 내용 대부분이 이미 중학 과정에서 배운 것들이다. ‘집합과 명제’는 ‘집합’, ‘수 체계’는 ‘실수’, ‘식의 계산’은 ‘다항식과 그 연산’, ‘방정식과 부등식’은 ‘이차방정식’ ‘인수분해, 약수와 배수’ ‘부등식’, ‘도형의 방정식’은 ‘피타고라스의 정리’ ‘일차함수’ 등과 같은 중1∼3 과정의 내용을 심화한 것.

중학 수학교과서를 다시 꺼내들고 철저히 복습하면 고1 1학기 수학의 주요 개념이 저절로 이해된다. 고1 1학기 ‘방정식과 부등식’ 단원 중 소단원 ‘삼차방정식과 사차방정식’에서 하위권들이 어렵게 느끼는 다음 문제를 살펴보자.

간단한 문제지만 하위권은 어렵다. 방정식의 기본개념을 모르고 있기 때문이다. 미지수 x 위에 붙은 승수 ‘4’와 ‘2’ 때문에 ‘복잡해서 풀 수 없다’는 선입견이 생긴다. 하지만 알고 보면 이 문제는 중3 1학기에 배우는 ‘이차방정식’과 ‘인수분해’의 개념만 숙지해도 풀린다.

자, x²-4x+3=0은 풀 수 있는가? 이건 쉽다. 그렇다면 원래의 사차방정식 문제로 돌아가 이차방정식에서 근을 구하는 원리를 활용해 보자. ‘x²’을 A로 치환해 보면 A²-4A+3=0으로 간단하게 고칠 수 있다. 복잡한 듯 보였던 사차방정식이 손쉬운 이차방정식의 형태로 바뀐 것이다.

이번엔 A²-4A+3=0을 인수분해로 풀어보자. A²-4A+3=0은 (A-1)(A-3)=0으로 인수분해 된다. 따라서 A의 근은 1 또는 3이라는 결론을 낼 수 있다. 그런데 여기서 구하려고 하는 값은 x이므로, A를 다시 x²으로 바꾸면 x²=1 또는 3이 된다. 결국 x=√3, -√3 또는 1, -1이다.

[Step 2] 까다로워진 ‘조건’을 이해하라

그래도 하위권은 답답하다. 중학 과정을 복습했는데도 고1 교과서에 나오는 문제를 쉽게 풀 수 없기 때문이다. 이유는 뭘까? 중학교나 고등학교나 기본개념은 동일하다. 다만 고등학교 수학은 문제에서 복잡해 보이는 ‘조건’들을 제시할 뿐이다. 결국 핵심은, 꼬여 있고 어렵게만 보이는 조건을 단순 명확한 기호나 수식을 사용해 쉽게 풀어쓰는 작업이 필요한 것. 고1 1학기에 나오는 다음 이차방정식 문제를 보자.

이차방정식의 원리는 이미 알고 있다. 그런데 이 문제를 풀 엄두도 나지 않는 이유가 뭘까? ‘두 근의 차가 2’라는 조건 때문이다. 중학교 때는 ‘x²-(K+1)x+8=0의 한 근은 1일 때 나머지 한 근과 K의 값을 구하라’처럼 조건이 특정하게 제시되는 경우가 많은 반면, 고등학교에선 주어지는 조건이 더 복잡하고 막연해 보이는 것이다.

이때 중요한 것은 ‘두 근의 차가 2’라는 조건을 명확한 기호나 수식으로 변환하는 작업이다. 중학교 과정처럼 두 근을 ‘분명한’ 기호나 숫자로 나타내 보자. ‘두 근의 차’가 2이므로 두 근을 ‘α’와 ‘α+2’로 바꿔 표현할 수 있어야 하는 것이 핵심이다.

이에 따라 두 근을 ‘α’와 ‘α+2’로 하는 방정식을 만들면 (x-α)(x-(α+2))=0이 된다. 이 식을 전개하면 x²-(2α+2)x+α(α+2)=0. 이것을 당초 주어진 방정식과 비교하면, K+1=2α+2이고, 8=α(α+2)이다. 먼저 α의 값을 구하면 α=-4, 2가 나온다. 이를 통해 상수 K의 값을 구하면 α=-4일 때 K=-7, α=2일 때 K=5이다. 따라서 상수 K의 값은 -7 또는 5이다.

[Step 3] 고1 수학교과서의 ‘기본문제’를 풀어라

1, 2단계에 자신이 붙었다면, 마지막으로 고1 수학교과서 1학기 과정에 나오는 기본문제들을 하나도 빼지 않고 풀어보아야 한다. 기본문제를 풀어보면 내가 수학적 개념과 공식을 정확히 알고 있는지를 객관적으로 평가해 볼 수 있기 때문이다. 다음은 고1 1학기 ‘이차방정식’ 단원의 기본문제다.

만약 ‘서로 다른 두 실근을 갖는다’고 판별하는 데 성공했다면, 이는 ‘근의 공식’과 ‘판별식’의 개념을 정확히 알고 있음을 나타내준다. 만약 판별하지 못했다면 이들 수학적 개념을 사실은 이해하지 못하고 있다는 의미다.

하지만 여기서 그쳐서는 안 된다. 이어지는 기본문제들을 계속 풀어야 한다. ‘x²+4x+4=0의 근을 판별하라’는 기본문제와 ‘2x²+x+3=0의 근을 판별하라’는 기본문제는 얼핏 보면 똑같은 유형의 문제처럼 보이지만, 각각 ‘중근’과 ‘허수’라는 개념을 더불어 알고 있어야만 최종 결론을 낼 수 있는 문제이기 때문이다.

만약 공식과 개념을 ‘완벽히’ 안다고 확신하는데도 기본문제를 푸는 데 애를 먹는다면 어떻게 해야 할까? 그때는 공식이나 개념에다 실제 숫자를 집어넣어 알기 쉽게 설명해주는 교과서 내 ‘예제’를 참고한다.

도움말 전준홍 이투스 수리영역강사, 서울 인창고 김효섭 수학교사

정석교 기자 stayfun@donga.com