[신문과 놀자!/생각이 크는 수학]최소공배수 알면 간지계산도 척척

올해는 계사년… 다음 계사년은 언제 올까요

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“올해는 뱀의 해인 계사년(癸巳年)이래요. 저도 뱀처럼 똑똑해지려고요.” “계획표의 목표를 다 이루도록 엄마도 응원할게.”

“신문에서 보니까 2013년이 계사년이지만 6·25 휴전 협정이 맺어진 1953년도 계사년이었어요. 권율 장군이 왜군을 크게 무찌른 행주대첩도 1593년 계사년에 있었고요. 계사년은 몇 년에 한 번 찾아올까요?” “십간(十干)과 십이지(十二支)에 대해 알아야겠구나.”

십간(十干)은 순서를 나타냅니다. 갑(甲) 을(乙) 병(丙) 정(丁) 무(戊) 기(己) 경(庚) 신(辛) 임(壬) 계(癸). 십이지(十二支)는 12가지 동물을 나타냅니다. 자(子)=쥐, 축(丑)=소, 인(寅)=호랑이, 묘(卯)=토끼, 진(辰)=용, 사(巳)=뱀, 오(午)=말, 미(未)=양, 신(申)=원숭이, 유(酉)=닭, 술(戌)=개, 해(亥)=돼지. 계사년은 십간 중 열 번째인 계(癸), 십이지의 여섯 번째 동물인 사(巳)를 합쳐 만든 이름입니다.

해마다 십간에서 한 글자와 십이지에서 한 글자를 순서대로 합해서 그해의 이름을 만듭니다. 갑자 을축 병인 정묘 무진 기사 경오 신미 임신 계유 갑술 을해 병자 정축 무인 기묘 경진 신사 임오 계미….

이런 식으로 이름을 붙이는데 십간과 십이지의 끝 글자만을 합해서 간지(干支)라고 이릅니다. 그래서 2011년은 신묘년, 2012년은 임진년, 2013년은 계사년이 됩니다. 이름을 한 번씩 붙이면 갑자년, 을축년 등 처음부터 다시 시작하니까 언젠가는 신묘년 임진년이 돌아오겠지요.

그럼 여기서 문제를 풀어 봐요. 계사년은 얼마 만에 한 번 돌아올까요? 여기서 꼭 찾아내야 하는 정보는 10개의 십간(十干)과 12개의 십이지(十二支)가 반복되면서 짝을 이룬다는 사실입니다. 이걸 알면 계사년이 다시 나올 때까지 모든 짝을 찾지 않아도 됩니다.

십간은 10년마다 반복되고 십이지는 12년마다 반복되므로 십간과 십이지의 글자가 같이 다시 돌아오는 때를 찾아보면 같은 이름을 가진 해가 몇 년마다 돌아오는지 알 수 있습니다. 십간은 10년마다 반복되므로 10의 배수를 구하면 10, 20, 30, 40, 50년 등마다 같은 글자가 나옵니다. 십이지는 12년마다 반복되므로 12의 배수인 12, 24, 36, 48, 60년 등마다 같은 글자가 나옵니다.

십간과 십이지가 반복되는 해에서 공통의 수는 무엇일까요? 60과 120입니다. 같은 이름이 처음으로 다시 돌아오는 해는 이렇게 공통인 수 중 가장 작은 수입니다. 그리고 그 수의 배수마다 같은 이름의 해가 돌아옵니다. 올해가 계사년이면 다음에 다시 계사년이 돌아오는 첫 번째 해는 60년 후가 됩니다. 이후 60년마다 계사년이 다시 돌아오겠지요.

이처럼 두 수의 공통인 배수를 두 수의 공배수라 합니다. 공배수 중 가장 작은 수는 두 수의 최소공배수라고 합니다. 그러면 4와 6의 배수, 공배수, 최소공배수를 직접 구해 볼까요?

4의 배수=4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40….

6의 배수=6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60….

4의 배수도 6의 배수도 끝없이 구할 수 있지요? 자세히 보니 4의 배수도 되고 6의 배수도 되는 수가 있네요. 12, 24, 36…입니다. 이렇게 어떤 두 수의 공통인 배수를 공배수라고 해요. 12, 24, 36…은 4와 6의 공배수이지요. 이 중 가장 작은 공배수인 12를 4와 6의 최소공배수라고 한답니다. 두 수의 공배수 중에서 가장 작은 수란 뜻이지요.

최소공배수를 간단히 구하는 방법은 없을까요? 공약수를 이용하면 됩니다. 두 수의 공통인 배수를 공배수라고 했듯이 두 수의 공통인 약수를 두 수의 공약수라고 해요.

4와 6의 공약수를 이용해 두 수의 최소공배수를 구하는 방법을 알아봅시다. 4와 6의 최소공배수를 구하려면 4와 6을 두 수의 공약수로 나눌 수 있을 때까지 나눠야 합니다. 1은 항상 두 수의 공약수이지만 1로 나누면 같은 수가 반복되니 1이 아닌 공약수로 나눠야 합니다. 그다음 공약수와 공약수로 나눈 몫을 모두 곱하면 됩니다.

4와 6의 최소공배수는 2×2×3=12입니다. 두 수의 최대공약수를 구하려면 1이 아닌 공약수로 나눌 수 있을 때까지 나눠야 합니다. 그다음 나눈 공약수를 모두 곱하면 됩니다.

이런 방법으로 24와 36의 최대공약수를 구해보세요. 24와 36을 2로 나누면 각각 12와 18이 됩니다. 12와 18을 2로 나누면 각각 6과 9가 됩니다. 6과 9를 3으로 나누면 각각 2와 3이 됩니다. 따라서 24와 36의 최대공약수는 2×2×3=12입니다.

자, 그럼 두 번째 문제를 풀어볼까요? 계웅이는 과학책과 역사책을 매일 같은 양씩 읽으면서 끝내려고 합니다. 과학책이 180쪽, 역사책이 144쪽일 때 각각 하루에 몇 쪽씩 읽어야 할까요?

최대한 많이 읽는다고 했으므로 최대공약수를 이용하면 되겠네요. 180과 144의 최대공약수를 구하면 다음과 같습니다. 최대공약수는 2×2×3×3=36입니다. 매일 똑같이 36쪽씩 읽으면 소설책은 5일 만에, 위인전은 4일 만에 끝납니다.

김성희 웅진씽크빅 씽크U수학 개발팀 책임연구원