[신문과 놀자/눈이 커지는 수학]새해 해돋이 시간, 모래시계로 측정해볼까

강원 강릉 경포대 해수욕장에 설치된 오륜 조형물 옆으로 밝은 해가 떠오르고 있다. 동아일보DB

새해가 밝았습니다. 신년을 새로운 장소에서 맞이하기 위해 먼 길을 떠나는 등 제각기 저마다의 장소에서 새해를 맞았을 것으로 압니다.

▽상훈=뉴스를 보니 지난해 우리 가족이 일출 명소에서 해뜨기를 기다리며 추위와 싸웠던 기억이 나네요.

▽엄마=그때 분명 해 뜨는 시각을 확인하고 1시간 전부터 기다렸지.

▽상훈=하마터면 해돋이를 못 볼 뻔했잖아요.

▽엄마=시간을 잘못 계산해서 일어난 일이지. 올해는 어떤 소원을 빌었니? 엄마는 모든 사람이 수학하는 한 해를 꿈꿔 봤다.

▽상훈=와! 그런 소원도 있어요?

▽엄마=그럼. 그런 의미에서 시간에 관한 간단한 수학 퍼즐로 새해를 시작해 볼까?

○ 시간을 측정하는 방법

시각은 어떤 사건이 일어난 순간을 말하고 시간은 시각과 시각 사이의 간격을 말합니다. 보통 시간은 하늘을 가로지르는 태양의 움직임이나 진자의 운동과 같이 일정한 주기로 반복되는 운동을 이용해 측정합니다. 해시계나 전자시계가 이런 원리를 이용합니다.

우리에게 널리 알려진 위성위치확인시스템(GPS)은 24개의 인공위성으로 구성돼 있습니다. 각 위성에는 시각을 맞춘 원자시계가 있고 이 원자시계는 원자에서 방출하는 빛의 진동 주기를 이용하여 시간을 측정합니다. 이를 통해 어떤 물체의 위치와 고도 및 현재의 시각을 알아냅니다.

○ 모래시계 활용 시간 측정

가운데가 잘록한 유리그릇에 마른 모래를 넣고 중력에 의해 서서히 모래가 떨어지면, 그 부피로 시간을 재는 장치를 모래시계라고 합니다. 시계라기보다는 스톱워치 또는 타이머에 가깝습니다. 특정 시간 동안 모래가 떨어지는 모래시계 몇 개로 다양한 시간을 측정할 수 있습니다. 대표적인 모래시계 수학 퍼즐로는 “4분짜리 모래시계와 7분짜리 모래시계로 다양한 시간을 측정하라”는 것입니다.

먼저 두 모래시계를 이용해 9분을 측정해 볼까요? 단 시작과 동시에 9분을 측정할 수 있어야 합니다. 어떻게 구할 수 있을지 잠시 생각해 보세요.

모래시계 이용하기

문제 해결 열쇠는 9분에서 7분을 뺀 2분을 어떻게 측정하느냐에 있습니다. 2분을 바로 측정할 수 없으면 1분 단위 측정이 필요하지요. 그래서 다음과 같이 진행합니다.

① 4분, 7분 모래시계를 동시에 놓고 4분이 지나면(4분 경과) 4분 모래시계를 뒤집습니다. 7분 모래시계에는 3분만큼의 모래가 남습니다.

② 3분이 더 흘러 7분 모래시계의 모래가 다 내려가면(7분 경과) 7분 모래시계를 뒤집습니다. 4분 모래시계에는 1분만큼의 모래가 남습니다.

③ 1분이 지나(8분 경과) 4분 모래시계의 모래가 모두 내려오면 이때 7분 모래시계에는 1분만큼의 모래가 내려간 상태입니다. 이때 7분 모래시계를 뒤집습니다.

④ 7분 모래시계의 모래가 다 내려오면 1분이 지나게 됩니다. 총 9분이 됩니다. 만약 8분 경과 때 4분 모래시계도 뒤집어 놓으면 또 1분 단위 시간이 측정 가능해집니다.

실제 모래시계가 있으면 직접 실험도 할 수 있지만 머리로 생각하는 것도 재미있는 일입니다. 그럼 두 모래시계를 이용해 15분을 측정하는 방법도 생각해 보시길 바랍니다.

○ 시간을 측정하는 또 다른 방법

이번에는 다른 조건에서 시간 측정 방법을 생각해 보려 합니다. 다양한 길이, 두께의 끈들이 주어졌다고 상상해 봅시다. 길이와 너비, 굵기가 균일하지 않습니다. 한 가지 공통점은 모든 끈이 각각 다 탈 때까지 꼭 1시간이 걸린다는 것입니다. 주의할 점은 균일한 굵기, 너비가 아니어서 반드시 일정한 비율로 타지 않습니다. 즉, 불을 붙이고 30분이 되면 반드시 끈의 절반이 타는 것은 아니라는 것입니다. 이제 문제입니다. “이 끈들을 사용해 45분을 측정할 수 있는 방법은 무엇일까요?”

끈 이용하기

이 문제의 경우 끈을 접어 끈의 4분의 1, 2분의 1 그리고 4분의 3에 접은 자국을 만드는 방법이 있습니다. 45분을 측정하는 방법은 4분의 3 지점까지 탈 때까지 기다리는 것입니다. 하지만 끈이 일정한 속도로 타지 않아 소용이 없습니다.

먼저 끈이라는 점에 착안해 봅시다. 균일하게 타들어 가지 않겠지만 끈 양쪽에서 불을 붙이면 30분이 지난 뒤 서로를 향해 불타는 화염이 모여 만납니다. 어떠한 끈도 마찬가지로 30분 간격은 측정할 수 있습니다.

두 개의 줄을 이용해 하나는 한쪽 끝에, 하나는 양쪽 끝에 불을 붙입니다. 30분이 지나서 양쪽 끝에 불을 붙인 끈이 모두 타면 나머지 한 끈의 나머지 한쪽에도 불을 붙입니다. 이번에는 30분의 반인 15분 동안 나머지 끈이 모두 타겠지요. 이를 종합해 보면 ‘30분+15분=45분’을 만족하게 됩니다.

최근 미국의 ‘실험 아동 심리학 저널’에 실린 논문에 의하면 부모와 아이가 함께 수학 관련 활동을 한 경우, 수리 능력뿐만 아니라 어휘 능력도 전반적으로 향상되는 것으로 나타났다는 보고가 있습니다. 올 한 해도 틈틈이 간단한 수학 퍼즐이나 퀴즈, 일상적이지만 수학적인 문제들과 가까이해 보시면 어떨까요?

무술년 한 해 저의 소망도, 여러분이 바라는 새해 희망도 모두 이뤄지길 바랍니다.

박지현 반포고 교사