우리 주변을 살펴보면 같은 규칙으로 면을 채운 형태를 많이 접하게 됩니다. 가령 욕실 바닥이나 인도의 보도블록, 내 방의 벽지 등 일정한 규칙으로 면을 채워 붙인 형태입니다. 최근 서영이는 수학사에 남을 15번째 오각형이 발견되었다는 뉴스를 보았습니다(그림 1 참조).
바닥면에 겹치거나 빈틈이 없도록 타일을 붙일 수 있는 새로운 오각형이 3명의 수학자에 의해 발견되었다. 30년 만에 이루어진 이 새로운 오각형의 발견은 수학사의 한 쪽을 장식할 ‘사건’으로 평가받고 있다.
엄마: “글쎄, 합동인 도형으로 붙인다는 것이 중요한 점이겠지.”
엄마: “그래. 모양과 크기가 같은 도형을 합동이라 한단다. 이런 합동인 도형으로 면을 채우는 것이 몇 가지 종류나 가능할까 밝혀내는 것도 재미있는 도전이었단다.”
서영: “뉴스에서 본 것 같은, 그런 오각형이 또 있을 수 있을까요?”
엄마: “지금까지 평면을 덮을 수 있는 오각형 종류가 14개가 발견된 상태였단다. 마지막 종류는 1985년에 발견되었는데, 이제 또 하나 발견되었으니 모두 15개가 되었구나. 그렇지만 평면을 덮을 수 있는 오각형의 종류가 더 있는지는 아직 아무도 모른단다.”
서영: “아, 그렇군요. 오각형 말고도 다른 도형으로도 평면을 덮는 게 가능할까요?”
● 합동과 쪽매붙임
2개의 도형이 크기와 모양이 똑같아서 완전히 포개어질 때 두 도형을 합동이라고 합니다. 즉, 한 도형을 뒤집기, 돌리기, 옮기기와 같은 방법을 다양하게 사용하여 크기나 모양을 바꾸지 않고 다른 도형과 겹쳐지면 두 도형은 합동이라고 할 수 있지요.
한편, 내부를 갖는 평면도형들을 알맞게 서로 이어 붙이면 평면을 덮을 수 있습니다. 평면을 한 가지 또는 그보다 많은 합동인 기본 도형들로 겹치지 않게 빈틈없이 붙인 것을 쪽매붙임(tiling)이라고 합니다. 그렇다면 정다각형 하나를 기본도형으로 하여 쪽매붙임이 가능한 정다각형은 어떤 것이 있을지 수식으로 알아볼까요?
먼저, 정다각형의 한 내각에 대해 알아봅시다.
이때, 정다각형의 한 내각의 크기는, 내각의 합을 다각형의 각의 개수로 나누어 구할 수 있습니다. 예를 들어 정사각형의 한 내각은 2×180도÷4=90도, 정오각형의 한 내각은 3×180도÷5=108도가 되는 것이지요. 따라서 정다각형의 한 꼭짓점에 합동인 정다각형이 몇 개 모여 쪽매붙임이 되었다고 가정하면, ‘(정다각형의 한 내각)×(한 꼭짓점에 모인 정다각형의 수)=360도’의 식이 성립해야 합니다.
그런데 이 식을 만족하는 경우는 정삼각형, 정사각형, 정육각형 등 세 가지뿐입니다(그림 2 참조).
정삼각형: (180도÷3=60도)×6=360도
정사각형: (360도÷4=90도)×4=360도
정육각형: (720도÷6=120도)×3=360도
● 오각형의 쪽매붙임
정오각형의 경우, 세 도형이 한 꼭짓점이 모여 360도가 되지 않아 쪽매붙임을 할 수 없지만 정오각형이 아닌 오각형의 경우는 쪽매붙임이 되는 경우가 있습니다. 다섯 개의 각을 각각 A, B, C, D, E 라 하면 B+C=180도이고, A+D+E=360도인 오각형의 경우는 다음과 같이 쪽매붙임이 가능합니다(그림 3-1, 그림 3-2 참조).
박지현 반포고 교사