오르테가 추기경은 미국과 쿠바의 관계 정상화를 주선한 프란치스코 교황의 특사로 미 백악관을 비밀리에 방문했다. 35년간 쿠바 수도 아바나의 대주교를 지내면서 라울 카스트로 쿠바 국가평의회 의장의 두터운 신임을 받았고 아르헨티나 추기경 출신의 프란치스코 교황과는 라틴아메리카 주교 총회 등을 통해 친분을 쌓아왔다.
쿠바 태생으로 캐나다 퀘벡에서 신학을 공부했고 1964년 고향인 마탄사스 주에서 사제가 됐다. 1981년부터는 아바나 대주교를 맡아 교황의 쿠바 방문을 3번이나 주선했다.