서영이는 얼마 전 스웨덴 왕립과학원 노벨위원회가 2016년 노벨 물리학상 수상자로 물질의 위상적 상전이와 위상학적 상태를 이론적으로 발견한 공로를 인정해 3명의 교수를 수상자로 선정했다는 소식을 들었습니다.
“2016년 노벨 물리학상은 물질이 기묘한 상태로 존재하는 새로운 세상을 인류에게 보여준 공로를 인정받은 데이비드 사울레스, 덩컨 홀데인, 마이클 코스털리츠 등 세 명의 교수가 공동 수상했습니다. 이들 세 사람은 아주 특이한 상태에서 물질이 일어나는 현상을 수학적 모델을 이용해 설명했습니다. 코스털리츠와 사울레스 교수는 2차원이라 여길 만큼 아주 얇은 물질에서 일어나는 현상을 연구했고, 홀데인 교수는 1차원으로 여겨질 만큼 가는 실을 형성하는 물질을 연구했습니다.”
서영: 이번 물리학상은 물리 현상을 수학으로 해결했다고 들었어요.
서영: 엄마, ‘차원’이나 ‘위상’은 뭐예요?
○ 차원과 위상
어떤 공간의 차원은 그 공간의 성분들 중에서 서로에게 영향을 미치지 않고 독립적으로 움직일 수 있는 성분들을 최대한 모아 놓았을 때, 그런 성분이 몇 개인지를 말하는 것입니다. 우리가 사는 3차원 공간은 앞뒤, 좌우, 위아래의 3가지 방향으로 자유롭게 움직일 수 있습니다. 그래서 3차원입니다. 2차원 공간은 평면 위의 공간입니다 평면 위의 점을 생각해 보면 점은 앞뒤, 좌우의 2가지 방향으로 움직일 수 있습니다. 따라서 평면은 2차원입니다. 1차원 공간은 수직선 하나로 이루어진 공간입니다. 수직선 위에 있는 점이 움직인다고 생각할 때, 이 점은 수직선을 따라 좌우로만 움직일 수 있습니다. 그래서 1차원인 것입니다. 1차원 공간은 간단하게 수직선 하나로만 표시할 수 있지만, 2차원 이상의 공간을 표시하려면 위치를 정하는 다른 방법이 필요합니다. 그것이 바로 데카르트 좌표계 혹은 직교좌표계라는 것이지요. 2차원 공간은 서로 직각으로 교차하는 2개의 직선, 3차원 공간은 서로 직각으로 교차하는 3개의 직선으로 표시합니다. 그래서 차원은 어떤 공간 내에 있는 점의 위치를 나타내기 위해 필요한 좌표축의 수를 말하기도 합니다.
[그림1] 1, 2, 3차원 좌표계
위상수학은 물체의 형태가 바뀌더라도 변하지 않는 성질을 탐구하고 표현하는 학문입니다. 단 물체가 작게 찢어질 때는 예외입니다. 위상수학적으로는 공이나 밥그릇은 같은 구조입니다. 공의 한 부분을 오목해지게 힘을 가하면 결국 밥그릇처럼 만들 수 있기 때문이지요. 중앙에 구멍이 난 도넛과 손잡이 부분에 구멍이 있는 컵도 위상수학적으로는 같은 도형에 속합니다. 이들도 형태를 연속적으로 바꿔 나가면 결국은 완전히 같은 모양이 될 수 있기 때문입니다.
[그림2] 위상수학적 도형
가상현실은 단어 그대로 가짜 체험입니다. 현실에서 경험하지 못하는 일을 사람의 시각, 청각, 후각과 같은 감각을 이용해 간접적으로 체험할 수 있도록 현실처럼 만든 것입니다. 이 가상공간은 두뇌가 인식하는 방식이나 생체 신호를 흉내 내서 만듭니다.
[그림 3] 증강현실의 원리
마커 기반 증강현실 사진. http://beyondweb.egloos.com/5247344
박지현 반포고 교사