올해 12월 22일은 일년 중 가장 낮이 짧은 날이자 밤이 가장 긴 날입니다. 바로 24절기의 22번째 절기인 동지입니다. 24절기는 지구가 태양의 둘레를 도는 길인 황도를 따라 15도(15도×24=360도)씩 돌 때마다 기상과 동식물의 변화 등을 나타내어 명칭을 붙인 것입니다.
○ 계절마다 밤낮의 길이가 다른 이유
그림1
여기에서 또 하나 생각할 것은 지구가 공전을 한다는 것입니다. 겨울 동지의 경우는 그림과 같이 태양 빛이 자전축 왼쪽에서 들어오지만, 여름에는 이와 반대 방향으로 태양빛이 자전축 오른쪽으로 들어옵니다. 그러면 낮과 길이가 바뀌어 C지역이 낮이 가장 짧고 A지역이 낮이 길어지는 것이지요. 여전히 적도지방에서는 동지와 하지라는 개념이 생기지 않지만 자전축에 수직인 선을 극지방으로 이동하여 살펴보면 계속 해가 뜨거나 아예 뜨지 않은 경우가 있을 수 있음을 알 수 있습니다.
○ 빛과 그림자, 그리고 수학
어린 시절 조명 아래서 그림자놀이를 하거나 동네에서 그림자밟기 놀이를 한 기억도 있을 겁니다. 인류는 이러한 그림자의 성질을 이용하여 시계도 만들고 그림자 길이를 이용해 건축물의 높이, 지구의 둘레를 구하기도 했습니다.
이것은 태양 덕분에 가능했습니다. 태양 광선은 평행광선이기 때문에 그림자에 ‘합동’이나 ‘닮음’이라는 수학이 숨어 있습니다. 건물의 높이를 알고 싶을 때, 이를 잴 수 있는 자가 없는 것은 물론이고 또 이미 입체 형태의 건물의 높이를 재는 것도 쉽지는 않습니다. 그러나 그림자의 길이를 이용하면 간단히 해결됩니다. 우선 곧은 막대기를 하나 준비해 그 길이를 잽니다. 그다음에는 막대기를 땅바닥에 곧바로 세우지요. 막대기의 그림자 길이를 재고, 같은 시각에 건물의 그림자의 길이도 잽니다. 건물의 길이를 잴 수는 없지만 건물의 그림자 길이는 잴 수 있으니까요.
그림2
그림3
이를 통해 지구의 둘레를 구해냈고 오늘날 거리 단위로 환산하면 (360÷72)×925=46,250(km)이 됩니다. 오늘날 알아낸 실제 지구의 둘레는 40,192km로 차이는 있습니다. 오차가 있긴 하지만 커다란 지구의 둘레를 훌륭하게 구해낸 예입니다.
○ 그림자를 탐구하는 수학, 정사영
태양 빛은 지구의 자전으로 뜨고 집니다. 빛이 물체를 사이에 두고 바닥 면과 다양한 각도로 들어올 때 생기는 그림자는 같은 물체라도 크기나 모양이 다양하게 변합니다. 그러나 또 변하지 않는 성질도 있습니다. 직선인 빛과 수직인 면에 의해 생기는 그림자의 경우는 공통적인 특성이 있습니다.
그림4
동짓날 팥죽을 먹으며 다양한 물체의 그림자의 변화도 관찰해보세요. 또 주변의 다양한 건물의 높이를 그림자로 구해보세요. 지구와 태양에 숨어 있는 수학이 느껴질 것입니다.
박지현 반포고 교사